Чтобы определить, какое из данных прилагательных нужно писать с дефисом, давайте рассмотрим каждое из них и применим правила русского языка о написании сложных прилагательных.
- (железно)дорожный - это слово образовано от существительного "железная дорога". В данном случае, "железно" является частью составного прилагательного и пишется без дефиса, как одно слово: "железнодорожный".
- (северо)западный - в этом прилагательном "северо" указывает на направление и пишется с дефисом. Правило гласит, что прилагательные, состоящие из двух частей, где первая часть обозначает географическое направление, пишутся с дефисом. Таким образом, это слово правильно писать как "северо-западный".
- (древне)русский - здесь "древне" также образует составное прилагательное. Однако в данном случае оно пишется слитно, как одно слово: "древнерусский".
- (восточно)европейский - в этом прилагательном "восточно" также указывает на направление и пишется с дефисом. Правило аналогично предыдущему: "восточноевропейский" пишется слитно.
Таким образом, из предложенных вариантов прилагательное, которое нужно писать с дефисом, это (северо)западный. Все остальные прилагательные пишутся слитно.