Чтобы определить грамматическую основу предложения, нужно выделить подлежащее и сказуемое. Давайте разберем данное предложение шаг за шагом.

1. Выделяем главное действие. В данном предложении основное действие выражено глаголом "пришлось". Это слово указывает на то, что кто-то был вынужден выполнить какое-то действие.
2. Находим подлежащее. Чтобы найти подлежащее, нужно задать вопрос к сказуемому. В нашем случае вопрос будет: "Кому пришлось?" Ответ на этот вопрос - "мне". Значит, подлежащее в предложении - "мне".
3. Определяем сказуемое. Сказуемое в предложении выражено глаголом "пришлось". Это составное глагольное сказуемое, так как оно указывает на действие, которое произошло.

Теперь мы можем сформулировать грамматическую основу предложения:

Подлежащее: "мне"

Сказуемое: "пришлось"

Таким образом, грамматическая основа предложения "На западном фронте мне пришлось некоторое время жить в землянке Тарасникова" - это "мне пришлось".