Давайте разберем каждое предложение и выявим определения, а также определим их форму. Определение — это слово или словосочетание, которое уточняет или характеризует предмет. Оно может быть выражено прилагательным, причастием, местоимением или существительным с предлогом.

1. Спортсмены были награждены ценными подарками.
   • Определение: ценными (прилагательное)
2. Недалеко от школы построена площадка для волейбола.
   • Определение: для волейбола (сочетание слов с предлогом)
3. На незнакомце был пиджак в клетку.
   • Определение: в клетку (сочетание слов с предлогом)
4. Мама положила ребёнку в пенал второй карандаш.
   • Определение: второй (прилагательное)
5. У Пети была привычка рисовать в тетради.
   • Определение: в тетради (сочетание слов с предлогом)
6. К нам подошёл человек лет тридцати.
   • Определение: лет тридцати (сочетание слов)
7. Впереди путники увидели бурлящий поток.
   • Определение: бурлящий (причастие)
8. На завтрак в отеле подавали яйца всмятку и кофе.
   • Определение: всмятку (наречие, но в контексте выполняет функцию определения)
9. Выловленная рыбаком кета весила семь килограммов.
   • Определение: выловленная (причастие)
10. Произведения Гоголя бессмертны и актуальны и сегодня.
    • Определение: бессмертны (прилагательное)
    • Определение: актуальны (прилагательное)
11. Герой с честью прошёл все испытания и одержал верх над злом.
    • Определение: с честью (сочетание слов с предлогом)
12. Астрахань расположена в низовье реки Волги.
    • Определение: в низовье (сочетание слов с предлогом)

Таким образом, мы выявили определения в каждом предложении и указали их формы. Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими предложениями, не стесняйтесь спрашивать!