В предложении "Деревья были посажены давно" слово "посажены" является краткой формой страдательного причастия и не имеет падежа. Давайте разберёмся, почему это так:

1. Определение части речи: Сначала нужно определить, к какой части речи относится слово "посажены". Это краткая форма страдательного причастия прошедшего времени от глагола "посадить". Причастия, как и прилагательные, могут иметь полные и краткие формы.
2. Роль в предложении: В данном предложении "посажены" выполняет роль сказуемого в составе составного именного сказуемого "были посажены". Сказуемое здесь состоит из вспомогательного глагола "были" и краткого причастия "посажены".
3. Отличие кратких причастий от полных: В отличие от полных причастий и прилагательных, краткие причастия не изменяются по падежам. Они изменяются только по числам и родам (в единственном числе).

Таким образом, слово "посажены" в данном предложении не имеет падежа, так как оно является краткой формой причастия, выступающей в роли сказуемого.