В предложении "положил цветы под дверь и как ни в чем не бывало пошёл домой прямо посредине главной деревенской улицы" можно обнаружить производный предлог "под".

Шаги для определения производного предлога:

1. Определите все предлоги в предложении. Предлоги - это слова, которые связывают слова и выражают отношения между ними.
2. Обратите внимание на предлоги, которые могут быть производными. Производные предлоги образуются от других частей речи, чаще всего от существительных или прилагательных.
3. В данном предложении предлог "под" можно рассматривать как производный, так как он происходит от существительного "дверь" и используется для обозначения места, где находятся цветы.

Таким образом, в этом предложении мы видим, что "под" является производным предлогом, так как он указывает на местоположение и образован от существительного.