Для синтаксического разбора данного предложения мы будем следовать определённым шагам. Предложение довольно сложное и состоит из нескольких частей, поэтому разберем его по частям.

1. Определение типа предложения: Это сложное предложение, так как в нём несколько простых предложений, соединённых запятыми и союзами.
2. Выделение главных и второстепенных членов: Начнём с выделения главного члена предложения. В данном случае главной мыслью является "Дорога бежит". Остальные части предложения являются обстоятельствами и пояснениями к этому действию.
3. Разбор первой части: "Дорога бежит, извивается, пропадает в кудрявых берёзовых рощах, исчезает в заросших ольшаником глубоких оврагах и рвах, темнеет весенними промоинами, краснеет размытой глиной."
   • Подлежащее: "Дорога".
   • Сказуемое: "бежит, извивается, пропадает, исчезает, темнеет, краснеет" (глаголы в настоящем времени, все они относятся к одному подлежащему).
   • Обстоятельства: "в кудрявых берёзовых рощах", "в заросших ольшаником глубоких оврагах и рвах", "весенними промоинами", "размытой глиной". Все эти выражения объясняют, где и как происходит действие.
4. Разбор второй части: "Вокруг холмы, поля, колышется и дымит рожь, нежно зеленеют овсы, туманятся луга."
   • Подлежащее: "холмы, поля" (это однородные члены).
   • Сказуемое: "колышется и дымит" (глаголы, относящиеся к подлежащему "рожь").
   • Обстоятельства: "нежно зеленеют овсы", "туманятся луга" (дополнительные действия, связанные с природой).
5. Разбор третьей части: "Солнце светит весело и ярко, пухлые белые, чуть золотистые облака плывут по синему летнему небу, а по холмам за рекою, по сизым хлебам скользят их лиловые тени."
   • Подлежащее: "Солнце", "облака", "тени".
   • Сказуемое: "светит", "плывут", "скользят".
   • Обстоятельства: "весело и ярко", "по синему летнему небу", "по холмам за рекою", "по сизым хлебам".

Таким образом, мы видим, что предложение состоит из нескольких частей, каждая из которых имеет своё подлежащее и сказуемое, а также обстоятельства, которые уточняют действия. Синтаксический разбор помогает понять структуру сложного предложения и взаимосвязь между его частями.