Для синтаксического разбора предложения "Берёзовые дрова долго горят в печи и не коптят" нам необходимо выполнить несколько шагов. Давайте разберем это предложение по частям.

• Берёзовые - прилагательное (определяет существительное "дрова")
• дрова - существительное (подлежащее)
• долго - наречие (обстоятельство времени)
• горят - глагол (сказуемое)
• в - предлог
• печи - существительное (обстоятельство места)
• и - союз (сочинительный)
• не - частица (отрицание)
• коптят - глагол (сказуемое второй части сложносочиненного предложения)

В данном предложении мы имеем сложносочинённую структуру, состоящую из двух частей:

1. Первая часть: "Берёзовые дрова долго горят в печи".
2. Вторая часть: "и не коптят".

• Подлежащее: "дрова" (согласуется с прилагательным "берёзовые").
• Сказуемое: "горят".
• Обстоятельство: "долго" - обстоятельство времени, "в печи" - обстоятельство места.

• Подлежащее: здесь оно подразумевается, то есть "дрова".
• Сказуемое: "коптят" (с отрицанием "не").

Теперь мы видим, что обе части объединены союзом "и", который соединяет два простых предложения в одно сложное. Обе части имеют одно и то же подлежащее, что делает их частью одного синтаксического целого.

Таким образом, синтаксический разбор предложения "Берёзовые дрова долго горят в печи и не коптят" показывает, что это сложносочинённое предложение с общим подлежащим и двумя сказуемыми, из которых первое выражает действие, а второе - отрицание этого действия.