Для выполнения синтаксического разбора предложения "Король выходит из себя и прогоняет своих министров прочь" мы будем следовать определённым шагам. Давайте разберём это предложение по частям.

• Предложение состоит из двух частей, соединённых союзом "и".
• Первая часть: "Король выходит из себя".
• Вторая часть: "прогоняет своих министров прочь".

• Король - подлежащее (кто?)
• выходит - сказуемое (что делает?)
• из себя - обстоятельство (где? откуда?)

• он (Король) - подлежащее (кто?)
• прогоняет - сказуемое (что делает?)
• своих министров - прямое дополнение (кого? что?)
• прочь - обстоятельство (куда?)

В итоге, мы видим, что предложение состоит из двух простых предложений, соединённых союзом "и". Каждое из этих предложений имеет свою структуру с подлежащим и сказуемым, а также обстоятельствами и дополнениями.

1. Король выходит из себя
   • Подлежащее: Король
   • Сказуемое: выходит
   • Обстоятельство: из себя
2. и
3. прогоняет своих министров прочь
   • Подлежащее: он (Король)
   • Сказуемое: прогоняет
   • Дополнение: своих министров
   • Обстоятельство: прочь

Таким образом, мы выполнили синтаксический разбор предложений и выделили все главные члены и второстепенные члены. Надеюсь, это поможет вам лучше понять структуру предложений!