Чтобы правильно вставить букву в пропуски, нужно определить, какой частью речи являются слова, в которых мы видим пропуски, и к каким грамматическим формам они относятся. В данном случае все слова являются причастиями, и нам нужно вставить букву "и". Давайте рассмотрим каждое предложение по порядку.

1. с заросшим ивняком, поправившимся после болезни

   Здесь "заросшим" и "поправившимся" - это причастия, которые образованы от глаголов "зароснуть" и "поправиться". В этих формах используется окончание "-шим".

2. в окружающем нас лесу, приехавшему в гости

   В этом предложении "окружающем" и "приехавшему" также являются причастиями. В данном случае они имеют окончание "-ющем" и "-вшему" соответственно.

3. в строящемся доме, надеющемуся на снисхождение

   Здесь "строящемся" и "надеющемуся" - это причастия, образованные от глаголов "строиться" и "надеяться". Они тоже имеют окончание "-ющемся" и "-ющемуся".

4. появившемуся ветру, под разросшимся кустом

   В данном случае "появившемуся" и "разросшимся" - это причастия, которые также имеют окончание "-вшемуся" и "-шимся".

5. о случившемся несчастье, в прогретом солнцем

   Здесь "случившемся" и "прогретом" - это причастия и прилагательные, у которых окончание "-вшемся" и "-ом" соответственно.

Таким образом, в каждом из случаев, когда у нас есть пропуски, нужно вставить букву "и", чтобы получить правильные формы причастий. Если вы будете следовать этим шагам и помнить о правилах образования причастий, вам будет легче справляться с подобными заданиями в будущем!