Давайте внимательно рассмотрим предложенные вами словосочетания и найдем в них ошибки. Я объясню, в чем заключаются ошибки и как их исправить.

1. Словосочетание: С моей закадычной подругой мы часто ходим в кино.
   Ошибка: Слово "закадычная" употребляется неправильно. Правильный вариант: "закадычный друг" - это друг, с которым у вас очень близкие отношения.
   Исправление: С моей близкой подругой мы часто ходим в кино.
2. Словосочетание: Спешим поздравить вас с постигшим юбилеем.
   Ошибка: Слово "постигшим" употребляется некорректно. Правильный вариант: "достигнутым" или "наступившим".
   Исправление: Спешим поздравить вас с достигнутым юбилеем.
3. Словосочетание: У нее были огромные каштановые глаза.
   Ошибка: Слово "каштановые" может быть использовано, но в данном случае лучше использовать "карие" для описания цвета глаз.
   Исправление: У нее были огромные карие глаза.
4. Словосочетание: Он испытывал к нему крепкую ненависть.
   Ошибка: Слово "крепкую" не совсем корректно в данном контексте. Чаще употребляется "глубокую" или "сильную".
   Исправление: Он испытывал к нему глубокую ненависть.
5. Словосочетание: Путешествуя по разным странам, я очень скучала за близкими.
   Ошибка: В данном предложении нет грамматической ошибки, но можно улучшить стиль. Лучше использовать "по близким" вместо "за близкими".
   Исправление: Путешествуя по разным странам, я очень скучала по близким.

Таким образом, мы нашли и исправили ошибки в предложениях. Если у вас есть дополнительные вопросы или хотите разобрать другие примеры, не стесняйтесь спрашивать!