Давайте разберем каждое из предложений и найдем ошибку в оформлении прямой речи.

• Первое предложение:

  «Лягушка и говорит: «Бери свою стрелу, а меня возьми замуж!»»

  В этом предложении прямая речь оформлена правильно. Мы видим, что перед прямой речью стоит вводное слово "говорит", и прямая речь выделена кавычками.

• Второе предложение:

  «Опечался Иван-царевич и говорит: «Как же я тебя замуж возьму! Меня люди засмеют!»»

  Здесь также все оформлено корректно. Вводное слово "говорит" стоит перед прямой речью, и прямая речь выделена кавычками.

• Третье предложение:

  «Царь взял ковёр у старшего сына, посмотрел и молвил: «Этим ковром только от дождя лошадей покрывать»!»

  В этом предложении есть ошибка. Правильное оформление требует, чтобы знак препинания, который идет после прямой речи, находился внутри кавычек. В данном случае в конце прямой речи стоит восклицательный знак, который должен быть внутри кавычек.

Таким образом, ошибка в оформлении прямой речи содержится в третьем предложении. Правильный вариант будет выглядеть так:

«Царь взял ковёр у старшего сына, посмотрел и молвил: «Этим ковром только от дождя лошадей покрывать!»