Давайте разберем оба вопроса по порядку.

1. В каком предложении есть категория состояния?

Категория состояния выражает эмоциональное или физическое состояние субъекта. В предложениях, которые вы привели, нужно найти то, где это состояние явно выражено.

• Мы шли слишком быстро. - Здесь описывается действие, а не состояние.
• Впереди были непроходимые болота. - Это тоже описание обстоятельств, а не состояния.
• На душе было радостно. - В этом предложении выражается состояние души, то есть эмоциональное состояние человека.
• Кое-где попадались грибы. - Это описание места, а не состояния.

Таким образом, верный ответ: На душе было радостно.

2. Найдите наречия, которые образованы сложением слов:

Наречия, образованные сложением слов, представляют собой сочетания, которые в итоге становятся одним словом. Давайте рассмотрим предложенные варианты:

• еле-еле - это наречие образовано от двух слов "еле" + "еле".
• нехорошо - это наречие, но оно не образовано сложением слов, а является производным от прилагательного "нехороший".
• кида-нибудь - это также не является наречием, образованным сложением слов, а представляет собой сочетание "куда" + "нибудь".
• полушутя - это наречие, образованное от слов "полу" + "шутя".

Таким образом, наречия, образованные сложением слов: еле-еле и полушутя.