Давайте разберем предложения и выясним, где необходимо вставить букву "е".

1. В первом предложении: "У Дмитрия при виде дочери всегда становилось легко на сердце, в душе не оставалось н… капли суровости." Здесь пропущенное слово — "ни". Это частица, которая используется в отрицательных предложениях. В данном случае слово "ни" не требует вставки буквы "е".

2. Во втором предложении: "Куда только н… обращались за помощью жители затопленного половодьем посёлка!" Здесь пропущенное слово — "ни". Это частица, которая также не требует вставки буквы "е".

3. В третьем предложении: "Что за люди в вашем городе: кого н… спрошу о чём-нибудь, каждый норовит побыстрее мимо пройти!" Здесь слово "ни" также не требует вставки буквы "е".

4. В четвертом предложении: "Даже при открытом окне спать душно: на улице н… ветерка." Здесь пропущенное слово — "ни". В данном контексте слово "ни" также не требует вставки буквы "е".

Таким образом, ни в одном из предложений нет необходимости вставлять букву "е" на месте пропуска, так как везде используется частица "ни". Если бы использовалось слово "не", то требовалась бы буква "е", но в данных предложениях это не так.