Давайте разберем оба вопроса по порядку: сначала посмотрим на употребление слов «тоже / то же» и «зато / за то», а затем рассмотрим правильность использования предлогов.

1. Употребление «тоже / то же» и «зато / за то»:

• «Тоже» используется для обозначения сходства или дополнения. Например: "Я тоже хочу пойти." Здесь «тоже» указывает на то, что говорящий хочет сделать то же самое, что и кто-то другой.
• «То же» используется, когда мы говорим о чем-то конкретном, что уже упоминалось. Например: "Это то же самое, что я купил вчера." Здесь «то же» указывает на конкретный предмет или ситуацию.
• «Зато» используется для противопоставления. Например: "Я не люблю мороженое, зато люблю пироги." Здесь «зато» указывает на то, что в отличие от первого утверждения есть что-то другое.
• «За то» употребляется в значении «за это», и в большинстве случаев пишется раздельно. Например: "Я благодарен за то, что ты пришел." Здесь «за то» указывает на причину благодарности.

Теперь проверим предложенные варианты:

• «Мы дали ему кличку Хвост зато, что он ходил за нами повсюду» - здесь правильно написано «зато», так как идет противопоставление.
• «Моя мама за то будет петь в хоре» - здесь неправильно, нужно писать «за то», так как идет речь о причине.
• «Он попросил тоже, что и вы» - здесь правильно, так как идет речь о схожем желании.
• «Нам тоже задали выучить стих» - здесь также правильно, так как речь идет о том, что нам задали то же самое.

Таким образом, правильные варианты: первое, третье и четвертое предложения. Неправильное - второе.

2. Употребление предлогов:

• «Она любит всех людей, не смотря на их внешность» - здесь неправильно, правильно будет «несмотря на». Это выражение пишется слитно.
• «Он решил, что сделает это несмотря ни на что» - здесь правильно, так как выражение употреблено верно.
• «Она перешла дорогу, несмотря по сторонам» - здесь неправильно, правильно будет «несмотря на». Это выражение также пишется слитно.
• «Директор часто подписывает документы, несмотря в них» - здесь неправильно, нужно использовать «несмотря на». Это выражение также пишется слитно.

Таким образом, правильным является только второе предложение. Неправильные - первое, третье и четвертое.

Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!