Давайте разберем ваш вопрос по поводу написания окончаний в предложенных словах. Мы будем определять, в каком из вариантов на месте пропуска в окончании пишется буква "Е". Для этого нам нужно учитывать правила русского языка, связанные с употреблением окончаний в предложном падеже.

• в библиотек... - правильный вариант: "в библиотеке". Здесь окончание -е, так как слово "библиотека" женского рода.
• на опушке... - правильный вариант: "на опушке". Окончание -е, так как слово "опушка" также женского рода.
• на небосклон... - правильный вариант: "на небосклоне". Здесь окончание -е, так как слово "небосклон" мужского рода.
• на местност... - правильный вариант: "на местности". Окончание -и, так как слово "местность" женского рода.

Ответ: "в библиотеке", "на опушке", "на небосклоне".

• лечиться в госпитал... - правильный вариант: "в госпитале". Окончание -е, так как слово "госпиталь" мужского рода.
• щётка для стирк... - правильный вариант: "для стирки". Окончание -и, так как слово "стирка" женского рода.
• расположение батаре... - правильный вариант: "расположение батареи". Окончание -и, так как слово "батарея" женского рода.
• отъехать от площад... - правильный вариант: "от площадки". Окончание -и, так как слово "площадка" женского рода.

Ответ: "в госпитале".

• в Карели... - правильный вариант: "в Карелии". Окончание -и, так как слово "Карелия" женского рода.
• на Енисе... - правильный вариант: "на Енисее". Окончание -е, так как слово "Енисей" мужского рода.
• приток Би... - правильный вариант: "приток Бии". Окончание -и, так как слово "Бия" женского рода.
• в Якути... - правильный вариант: "в Якутии". Окончание -и, так как слово "Якутия" женского рода.

Ответ: "на Енисее".

• без задней мысл... - правильный вариант: "без задней мысли". Окончание -и, так как слово "мысль" женского рода.
• отойти от берёзк... - правильный вариант: "от берёзки". Окончание -и, так как слово "берёзка" женского рода.
• ошибиться в задани... - правильный вариант: "в задании". Окончание -и, так как слово "задание" нейтрального рода.

Ответ: здесь нет вариантов, где пишется "Е".

Таким образом, в предложенных вариантах ответов, где на месте пропуска пишется "Е", это:

• в библиотеке
• в госпитале
• на Енисее