Для того чтобы найти грамматическую основу предложений, расставить знаки препинания, выявить приложения и выделить определяемые слова, необходимо следовать определённым шагам. Давайте разберём каждое предложение по порядку.

1. Она бедняжка лежала неподвижно и кровь лилась у неё из раны.
   • Грамматическая основа: "она лежала" и "кровь лилась".
   • Знаки препинания: запятая не требуется, так как части сложносочинённого предложения соединены союзом "и".
   • Приложение: "бедняжка" (определяемое слово - "она").
2. В состав экспедиции вошёл помощник по хозяйственной и организационной части Николаев.
   • Грамматическая основа: "помощник вошёл".
   • Знаки препинания: запятая перед приложением "Николаев" не нужна, так как оно стоит в конце предложения.
   • Приложение: "Николаев" (определяемое слово - "помощник").
3. С ним был лохматый чёрный пее по кличке Верный.
   • Грамматическая основа: "был пее".
   • Знаки препинания: запятая не нужна.
   • Приложение: "по кличке Верный" (определяемое слово - "пее").
4. У Пушкина этого отца русского искусства прямыми наследниками были Лермонтов и Гоголь.
   • Грамматическая основа: "наследниками были".
   • Знаки препинания: запятая перед "и" не нужна, так как соединяются однородные члены.
   • Приложение: "этого отца русского искусства" (определяемое слово - "наследниками").
5. Лишь в таинственный певец на берег выброшен грозою.
   • Грамматическая основа: "певец выброшен".
   • Знаки препинания: запятая не нужна.
   • Приложение: "таинственный" (определяемое слово - "певец").
6. Разносчик болотной влаги туман опустился на землю и принёс заразные болезни и холод.
   • Грамматическая основа: "туман опустился" и "туман принёс".
   • Знаки препинания: запятая не нужна, так как части соединены союзом "и".
   • Приложение: "болотной влаги" (определяемое слово - "разносчик").
7. Труд отец счастья.
   • Грамматическая основа: "труд отец".
   • Знаки препинания: запятая не нужна.
   • Приложение: "отец счастья" (определяемое слово - "труд").
8. Честь этот бриллиант на руке у добродетели помогает прожить жизнь достойно.
   • Грамматическая основа: "честь помогает".
   • Знаки препинания: запятая не нужна.
   • Приложение: "этот бриллиант" (определяемое слово - "честь").
9. Цена свободы вечная бдительность обходится человечеству дорого.
   • Грамматическая основа: "цена обходится".
   • Знаки препинания: запятая не нужна.
   • Приложение: "вечная бдительность" (определяемое слово - "цена").
10. Эта книга как модный роман сезона захватила многих.
    • Грамматическая основа: "книга захватила".
    • Знаки препинания: запятая не нужна, так как "как модный роман сезона" является сравнительным оборотом.
    • Приложение: "модный роман сезона" (определяемое слово - "книга").
11. Береза как одно из самых полезных русскому народу деревьев воспевалось в народном творчестве не одного поколения.
    • Грамматическая основа: "береза воспевалась".
    • Знаки препинания: запятая не нужна, так как "как одно из самых полезных" является сравнительным оборотом.
    • Приложение: "одно из самых полезных деревьев" (определяемое слово - "береза").
12. Здесь живут лесники обычные спутники моих невероятных путешествий по лесам Сибири.
    • Грамматическая основа: "лесники живут".
    • Знаки препинания: запятая перед "обычные" не нужна, так как "обычные спутники" - это однородные члены.
    • Приложение: "обычные спутники" (определяемое слово - "лесники").

Таким образом, мы разобрали каждое предложение, нашли грамматическую основу, расставили знаки препинания и выявили приложения с определяемыми словами. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!