Правильное написание термина "татаро-монгольское иго" включает в себя несколько важных моментов. Давайте разберем это по шагам:

1. Составные части термина: Данный термин состоит из двух частей: "татаро" и "монгольское". Это означает, что мы имеем дело с двумя народами — татарами и монголами.
2. Гипен в составных словах: В русском языке, когда мы соединяем два слова, которые обозначают разные, но связанные сущности, мы используем дефис. В данном случае, "татаро" и "монгольское" соединяются через дефис, чтобы показать, что речь идет о совместном явлении, а не о двух отдельных.
3. Окончание прилагательного: Важно также правильно написать окончание слова "монгольское". Это слово стоит в среднем роде и требует соответствующего окончания.

Таким образом, правильное написание будет: "татаро-монгольское иго".

Запомните, что использование дефиса в составных словах в русском языке — это важное правило, которое помогает избежать недопонимания и делает текст более читабельным.