Давайте разберем каждое из предложений и найдем в них ошибки, связанные с деепричастными оборотами. После этого мы отредактируем каждое предложение.

1. Став победителем Московской математической олимпиады, Татьяну пригласили учиться в лучшую физико-математическую школу столицы.

   Ошибка: Деепричастный оборот "Став победителем" не относится к подлежащему "Татьяна", так как он не может самостоятельно пригласить. Правильный вариант:

   Став победителем Московской математической олимпиады, Татьяна была приглашена учиться в лучшую физико-математическую школу столицы.

2. Собираясь в поход, у Миши появилось желание взять с собой томик стихов Бальмонта.

   Ошибка: Деепричастный оборот "Собираясь в поход" не может относиться к "у Миши". Правильный вариант:

   Собираясь в поход, Миша почувствовал желание взять с собой томик стихов Бальмонта.

3. Заполнив анкету, у менеджера могут появиться к вам вопросы.

   Ошибка: Деепричастный оборот "Заполнив анкету" не относится к "менеджеру". Правильный вариант:

   Заполнив анкету, вы можете задать менеджеру свои вопросы.

4. Подводя итоги обсуждения нового проекта, необходимость принятия решения в кратчайшие сроки стала очевидной.

   Ошибка: Деепричастный оборот "Подводя итоги" не относится к "необходимости". Правильный вариант:

   Подводя итоги обсуждения нового проекта, мы поняли, что необходимость принятия решения в кратчайшие сроки стала очевидной.

5. Предвидя трудности с размещением гостей, администрацией было принято решение о срочном восстановлении еще одного корпуса.

   Ошибка: Деепричастный оборот "Предвидя трудности" не может относиться к "администрацией". Правильный вариант:

   Предвидя трудности с размещением гостей, администрация приняла решение о срочном восстановлении еще одного корпуса.

6. Исследуя заброшенную деревню, ученых не остановили ни проливные дожди, ни назойливые москиты.

   Ошибка: Деепричастный оборот "Исследуя заброшенную деревню" не может относиться к "ученых". Правильный вариант:

   Исследуя заброшенную деревню, ученые не остановились ни перед проливными дождями, ни перед назойливыми москитами.

7. Играя в бадминтон, в Таниных движениях появлялась особая грация.

   Ошибка: Деепричастный оборот "Играя в бадминтон" не может относиться к "в Таниных движениях". Правильный вариант:

   Играя в бадминтон, Таня проявляла особую грацию в своих движениях.

8. Не зная маршрута экспедиции, поиск пропавших туристов растянулся на несколько дней.

   Ошибка: Деепричастный оборот "Не зная маршрута экспедиции" не может относиться к "поиску". Правильный вариант:

   Не зная маршрута экспедиции, участники поиска пропавших туристов растянули свои усилия на несколько дней.

9. Производя синтаксический разбор предложения, особе внимание должно быть обращено на выделение грамматической основы.

   Ошибка: Деепричастный оборот "Производя синтаксический разбор" не может относиться к "вниманию". Правильный вариант:

   Производя синтаксический разбор предложения, преподаватель должен обращать особое внимание на выделение грамматической основы.

10. Получив диплом о среднем профессиональном образовании, Дмитрию пришла в голову мысль продолжить свое обучение за границей.

    Ошибка: Деепричастный оборот "Получив диплом" не может относиться к "Дмитрию". Правильный вариант:

    Получив диплом о среднем профессиональном образовании, Дмитрий задумался о продолжении своего обучения за границей.

Таким образом, в каждом предложении мы исправили ошибки, связанные с некорректным использованием деепричастных оборотов, чтобы они правильно относились к подлежащему и выражали смысл предложения.