Давайте разберем каждое из предложений, выделяя деепричастия, их обороты и расставляя знаки препинания. Также укажем грамматическую основу и выделим обособленные обстоятельства.

1. Григорий Ильич, волнуясь, сломал в пальцах перо.
   • Грамматическая основа: Григорий Ильич сломал перо.
   • Деепричастие: волнуясь.
   • Обособленное обстоятельство: волнуясь (выделяется запятыми).
2. Мы вспомнили, что, уходя, не выключили свет.
   • Грамматическая основа: Мы вспомнили.
   • Деепричастие: уходя.
   • Обособленное обстоятельство: уходя (выделяется запятыми).
3. Можете уйти и, не дожидаясь, ответа.
   • Грамматическая основа: Можете уйти.
   • Деепричастие: не дожидаясь.
   • Обособленное обстоятельство: не дожидаясь (выделяется запятыми).
4. Он вышел на середину комнаты, поднёс к губам саксофон и, закрыв глаза, заиграл очень известную мелодию.
   • Грамматическая основа: Он вышел, заиграл мелодию.
   • Деепричастие: закрыв глаза.
   • Обособленное обстоятельство: закрыв глаза (выделяется запятыми).
5. И день, и ночь по снеговой пустыне спешу к вам, голову сломя.
   • Грамматическая основа: Я спешу к вам.
   • Деепричастие: сломя голову.
   • Обособленное обстоятельство: сломя голову (выделяется запятыми).
6. Военный, застёгивая перчатку, сторонился у двери и, поглаживая усы, любовался на розовую Кити.
   • Грамматическая основа: Военный сторонился, любовался Кити.
   • Деепричастия: застёгивая перчатку, поглаживая усы.
   • Обособленные обстоятельства: застёгивая перчатку, поглаживая усы (выделяются запятыми).
7. Но Каренина не дождалась брата, а, увидав его решительным лёгким шагом, вышла из вагона.
   • Грамматическая основа: Каренина не дождалась, вышла.
   • Деепричастие: увидав его.
   • Обособленное обстоятельство: увидав его решительным лёгким шагом (выделяется запятыми).
8. И, блестя наглыми глазами, выжидательно посмотрел на залившегося краской подполковника.
   • Грамматическая основа: Он посмотрел на подполковника.
   • Деепричастие: блестя глазами.
   • Обособленное обстоятельство: блестя наглыми глазами (выделяется запятыми).
9. Всю ночь они провели, не смыкая глаз: собирали вещи и готовились к спешному отъезду.
   • Грамматическая основа: Они провели ночь, собирали вещи, готовились.
   • Деепричастие: не смыкая глаз.
   • Обособленное обстоятельство: не смыкая глаз (выделяется запятыми).
10. Не болтайте, а, ещё раз проверив работы, сдавайте их.
    • Грамматическая основа: Не болтайте, сдавайте.
    • Деепричастие: проверив работы.
    • Обособленное обстоятельство: ещё раз проверив работы (выделяется запятыми).

Таким образом, мы разобрали каждое предложение, выделили деепричастия и обособленные обороты, а также указали грамматическую основу. Это поможет вам лучше понять правила употребления деепричастий и обособленных обстоятельств в русском языке.