Чтобы правильно расставить знаки препинания в предложениях, необходимо учитывать правила, касающиеся сложносочиненных и сложноподчиненных предложений, а также однородных членов предложения.

Теперь рассмотрим каждое из предложений:

• Было нестерпимо душно и я открыл окна на улицу.
• Степан смог припомнить только рыжую бороду да лисью шапку приезжего купца.
• Молодые люди шли по дороге босиком и что-то громко обсуждали и смеялись от души.
• Профессору было предложено либо высказаться публично прямо сейчас либо никогда больше не упоминать о произошедшем инциденте.
• Нежданный гость снял пальто и шляпу и прошел за мной в гостиную.

Из этих предложений запятая нужна в следующих:

1. Было нестерпимо душно, и я открыл окна на улицу.
2. Профессору было предложено либо высказаться публично прямо сейчас, либо никогда больше не упоминать о произошедшем инциденте.

Объяснение:

• В первом предложении "Было нестерпимо душно, и я открыл окна на улицу" запятая ставится перед союзом "и", так как здесь соединяются два простых предложения: "Было нестерпимо душно" и "я открыл окна на улицу".
• Во втором предложении "Профессору было предложено либо высказаться публично прямо сейчас, либо никогда больше не упоминать о произошедшем инциденте" запятая ставится перед "либо", так как это сложносочиненное предложение, в котором части соединены союзом "либо".

В других предложениях запятые не ставятся, так как они не требуют разделения на части или соединения с помощью союзов, которые требуют запятой:

• Во втором предложении "Степан смог припомнить только рыжую бороду да лисью шапку приезжего купца" нет необходимости в запятой, так как "да" здесь используется в значении "и" для соединения однородных членов.
• В третьем предложении "Молодые люди шли по дороге босиком и что-то громко обсуждали и смеялись от души" запятая не ставится, так как "и" соединяет однородные члены.
• В пятом предложении "Нежданный гость снял пальто и шляпу и прошел за мной в гостиную" также запятая не нужна, так как "и" соединяет однородные члены предложения.