Синтаксический разбор предложения - это процесс, в котором мы анализируем структуру предложения, определяем его составные части и их функции. Давайте разберем предложение "Собака испугалась не на шутку, но не желая выдавать своего страха громко залаяла и бросилась к коту" по шагам.

• Это сложное предложение, состоящее из двух частей, соединённых союзом "но".

• Первая часть: "Собака испугалась не на шутку".
• Вторая часть: "но не желая выдавать своего страха громко залаяла и бросилась к коту".

• Собака - подлежащее (существительное, именительный падеж).
• испугалась - сказуемое (глагол, прошедшее время, женский род).
• не на шутку - обстоятельственный оборот, поясняющий, как испугалась собака. "Не" - частица, "на шутку" - предложный падеж (предлог + существительное).

• не желая выдавать своего страха - деепричастный оборот, который поясняет, почему собака залаяла и бросилась к коту. "Не" - частица, "желая" - деепричастие, "выдавать" - инфинитив, "своего" - притяжательное местоимение, "страха" - существительное, родительный падеж.
• громко - обстоятельство, указывающее на способ действия (наречие).
• залаяла - сказуемое (глагол, прошедшее время, женский род).
• и - соединительный союз, связывающий два сказуемых.
• бросилась - второе сказуемое (глагол, прошедшее время, женский род).
• к коту - обстоятельственный оборот, указывающий направление действия. "К" - предлог, "коту" - существительное, дательный падеж.

В результате мы видим, что в предложении два главных члена (подлежащее и сказуемое) в обеих частях, а также дополнительные члены, которые уточняют действия и обстоятельства. Это сложное предложение с деепричастным оборотом и несколькими обстоятельствами, что придаёт ему выразительность и многослойность.

Надеюсь, этот разбор помог вам понять, как проводить синтаксический анализ предложений. Если у вас есть вопросы, не стесняйтесь задавать их!