Давайте разберем данное предложение по частям, чтобы понять его синтаксическую структуру. Мы будем следовать шагам, которые помогут нам выявить грамматические связи между словами.

Это сложносочиненное предложение, состоящее из двух частей, соединенных союзом "и".

Первая часть предложения: "Березы за одну ночь пожелтели до самых верхушек".

• Подлежащее: "Березы" - это существительное во множественном числе.
• Сказуемое: "пожелтели" - глагол в прошедшем времени, также во множественном числе.
• Обстоятельственный оборот: "за одну ночь" - указывает на время, когда произошло действие.
• Обстоятельственный оборот: "до самых верхушек" - указывает на степень или предел пожелтения.

Вторая часть предложения: "и листья осыпались с них частым и печальным дождем".

• Подлежащее: "листья" - существительное во множественном числе.
• Сказуемое: "осыпались" - глагол в прошедшем времени, также во множественном числе.
• Обстоятельственный оборот: "с них" - указывает на место, откуда осыпаются листья.
• Обстоятельственный оборот: "частым и печальным дождем" - указывает на способ, каким осыпаются листья (с использованием прилагательных "частым" и "печальным", которые описывают дождь).

Союз "и" соединяет две части предложения, указывая на то, что оба действия происходят одновременно и взаимосвязаны.

Таким образом, мы видим, что предложение состоит из двух частей, каждая из которых имеет свою подлежащее и сказуемое, а также обстоятельственные обороты, которые уточняют детали действия. Это позволяет нам понять, что березы пожелтели, и листья осыпались в результате этого процесса.