Для того чтобы определить, в каких случаях частица "не" пишется раздельно, необходимо учитывать несколько правил, касающихся значений и функций слов, с которыми она употребляется. Давайте разберем ваши примеры и выделим те, где "не" пишется раздельно.
Правила написания "не" с прилагательными и причастиями:
- Частица "не" пишется раздельно с прилагательными и причастиями, если они имеют значение, противоположное значению слова без "не".
- Также "не" пишется раздельно, если прилагательное или причастие употребляется в утвердительном значении.
Теперь рассмотрим ваши примеры:
- пел (не)грустно - "не" пишется раздельно, так как "грустно" - это обстоятельство, которое не теряет своего значения без "не".
- (не)вежественный человек - "не" пишется раздельно, так как "вежественный" – это прилагательное, которое в отрицательном значении имеет смысл "невежественный".
- ещё (не)прочитанный роман - "не" пишется раздельно, так как "прочитанный" в сочетании с "не" обозначает, что роман не был прочитан.
- (не)смелый товарищ - "не" пишется раздельно, так как "смелый" и "несмелый" имеют противоположные значения.
- (не)выступивший на совещании - "не" пишется раздельно, так как "выступивший" в сочетании с "не" означает, что кто-то не выступал.
- жить (не)далеко - "не" пишется раздельно, так как "далеко" в сочетании с "не" обозначает близость.
- идти (не)смотря на дорогу - "не" пишется раздельно, так как "смотря" в данном контексте не теряет своего значения.
- задание (не)сделано - "не" пишется раздельно, так как "сделано" в сочетании с "не" означает, что задание не выполнено.
- вовсе (не)слабый - "не" пишется раздельно, так как "слабый" и "неслабый" имеют противоположные значения.
- (не)забытый людьми подвиг - "не" пишется раздельно, так как "забытый" в сочетании с "не" указывает на то, что подвиг не забыт.
- (не)заячьи следы - "не" пишется раздельно, так как "заячьи" и "незаячьи" имеют противоположные значения.
- (не)здоровится - "не" пишется раздельно, так как "здоровится" в сочетании с "не" обозначает, что здоровье не в порядке.
Таким образом, все приведенные вами словосочетания содержат частицы "не", которые пишутся раздельно. Это связано с тем, что в каждом случае "не" подчеркивает отрицательное значение прилагательных, наречий или причастий, сохраняя их смысл.