Чтобы ответить на вопрос о том, нужна ли запятая перед словом "словно" в данном предложении, давайте разберем его структуру.

Слово "словно" в русском языке является сравнительным союзом и используется для введения сравнительного оборота. В данном случае "словно брошенный на произвол судьбы кот" является сравнительным оборотом, который поясняет, как именно чувствует себя подлежащее "он".

Теперь рассмотрим, как правильно оформлять такие конструкции:

• Если "словно" вводит сравнительный оборот, который непосредственно относится к подлежащему, запятая перед "словно" не ставится.
• Запятая ставится, если "словно" вводит отдельный пояснительный оборот, который не связан непосредственно с подлежащим.

В нашем предложении "словно брошенный на произвол судьбы кот" является частью однородного сказуемого и напрямую относится к подлежащему "он". Поэтому запятая перед "словно" не нужна.

Таким образом, правильный вариант предложения будет выглядеть так:

Он чувствовал себя словно брошенный на произвол судьбы кот, что умоляюще скребется в дверь, которую уже никогда не откроют.

Итак, ответ: запятая перед "словно" не нужна, так как это сравнительный оборот, который относится к подлежащему.