Для того чтобы определить, в каких случаях при раскрытии скобок пишется "раздельно", необходимо проанализировать каждое предложение. Рассмотрим варианты по порядку:

1. (Не)прекращавшийся шторм ломал мачты кораблей.

   В этом предложении "непрекращавшийся" является причастием, и в данном случае "не" пишется слитно. Поэтому этот вариант не подходит.

2. Озеро окружает (не)проходимая чаща леса.

   Здесь "непроходимая" - это прилагательное. В русском языке прилагательные с "не" пишутся раздельно, если без "не" слово имеет противоположное значение. В данном случае "проходимая" имеет противоположное значение, следовательно, "не" пишется слитно. Этот вариант также не подходит.

3. (Не)явившийся на зачёт студент заболел.

   В этом предложении "неявившийся" - причастие. Как и в первом случае, "не" с причастием пишется слитно. Поэтому и этот вариант не подходит.

4. Забор (не)покрашен.

   В данном случае "непокрашен" - это причастие. Однако, если мы скажем "забор не покрашен", то здесь "не" пишется раздельно, так как это не прилагательное и не причастие, а простое отрицание. Следовательно, этот вариант подходит.

Таким образом, единственный вариант, в котором "не" пишется раздельно, это:

• Забор (не)покрашен.