Давайте обозначим натуральное число, которое не делится на 3, как n. Мы хотим доказать, что разность между квадратом этого числа и 1, то есть n² - 1, делится на 3.

Сначала рассмотрим возможные остатки от деления натурального числа n на 3. Поскольку n не делится на 3, возможные остатки могут быть 1 или 2. Теперь рассмотрим оба случая:

• Случай 1: n ≡ 1 (mod 3)
• В этом случае квадрат числа n будет равен:
• n² ≡ 1² ≡ 1 (mod 3)
• Теперь найдем разность n² - 1:
• n² - 1 ≡ 1 - 1 ≡ 0 (mod 3)
• Случай 2: n ≡ 2 (mod 3)
• В этом случае квадрат числа n будет равен:
• n² ≡ 2² ≡ 4 ≡ 1 (mod 3)
• Теперь найдем разность n² - 1:
• n² - 1 ≡ 1 - 1 ≡ 0 (mod 3)

Таким образом, в обоих случаях, когда n не делится на 3, разность n² - 1 делится на 3. Мы можем сделать вывод, что разность между квадратом натурального числа, которое не делится на 3, и 1 всегда делится на 3.

Следовательно, мы доказали, что n² - 1 делится на 3 для любого натурального числа n, которое не делится на 3.