Как можно доказать, что cos^2(x/2) - sin^2(x/2) = cos2x?

Алгебра 10 класс Тригонометрические тождества доказать cos^2(x/2) sin^2(x/2) cos2x алгебра Тригонометрия формулы тождества математическое доказательство свойства косинуса свойства синуса Новый

Привет! Давай разберемся с этим уравнением. Нам нужно доказать, что cos^2(x/2) - sin^2(x/2) = cos(2x). Это можно сделать с помощью тригонометрических тождеств. Вот шаги, которые помогут нам:

1. Используем формулы половинного угла:
   • cos(x/2) = √((1 + cos(x))/2)
   • sin(x/2) = √((1 - cos(x))/2)
2. Подставляем эти формулы в левую часть:
   • cos^2(x/2) = (1 + cos(x))/2
   • sin^2(x/2) = (1 - cos(x))/2
3. Теперь подставим их в выражение:
   • cos^2(x/2) - sin^2(x/2) = (1 + cos(x))/2 - (1 - cos(x))/2
4. Упрощаем:
   • Это будет (1 + cos(x) - 1 + cos(x))/2 = (2cos(x))/2 = cos(x)
5. Теперь вспомним, что cos(2x) = 2cos^2(x) - 1:
   • И если заменить cos(x) на cos(2x), то мы получим нужное равенство!

Вот так, по сути, мы и доказали, что cos^2(x/2) - sin^2(x/2) = cos(2x). Если что-то не понятно, спрашивай!