Как можно найти площадь фигуры, ограниченной кривыми y=x² и y=2x, если сначала нарисовать график?

Алгебра 10 класс Площадь фигуры, ограниченной кривыми площадь фигуры график кривые y=x² y=2x алгебра 10 класс нахождение площади Новый

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной кривыми y = x² и y = 2x, первым делом действительно полезно нарисовать график этих функций. Это поможет визуализировать, где пересекаются кривые и какую область мы будем исследовать. Вот шаги, которые нужно выполнить:

1. Построение графиков:
   • График y = x² — это парабола, открытая вверх, с вершиной в точке (0,0).
   • График y = 2x — это прямая, проходящая через начало координат с угловым коэффициентом 2.
2. Нахождение точек пересечения:
   • Чтобы найти точки пересечения, приравняем уравнения: x² = 2x.
   • Приведем уравнение к стандартному виду: x² - 2x = 0.
   • Факторизуем: x(x - 2) = 0.
   • Решения: x = 0 и x = 2. Таким образом, точки пересечения находятся в (0,0) и (2,4).
3. Определение площади:
   • Площадь между кривыми можно найти, интегрируя разность функций на интервале от x = 0 до x = 2.
   • Формула для площади S будет выглядеть так: S = ∫ (2x - x²) dx от 0 до 2.
4. Вычисление интеграла:
   • Сначала найдем неопределенный интеграл: ∫ (2x - x²) dx = x² - (1/3)x³ + C.
   • Теперь вычислим определенный интеграл от 0 до 2: S = [x² - (1/3)x³] от 0 до 2.
   • Подставим границы: S = (2² - (1/3)(2³)) - (0 - 0) = (4 - (8/3)) = (12/3 - 8/3) = 4/3.

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной кривыми y = x² и y = 2x, равна 4/3 квадратных единиц.