Как вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у=12х-3х в квадрате и у=0?

Алгебра 10 класс Площадь фигуры, ограниченной кривыми вычислить площадь фигуры алгебра 10 класс у=12х-3х² у=0 ограниченные линии задачи по алгебре Новый

Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y = 12x - 3x^2 и y = 0, нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

1. Найдем точки пересечения кривой и оси абсцисс. Для этого приравняем уравнение к нулю:
• 12x - 3x^2 = 0
• Вынесем общий множитель: 3x(4 - x) = 0
• Решая уравнение, получаем: 3x = 0 или 4 - x = 0.
• Следовательно, x = 0 и x = 4. Эти точки пересечения будут важны для определения границ интегрирования.
2. Найдем площадь фигуры. Площадь фигуры, ограниченной кривой и осью, можно найти, используя определенный интеграл:
• Площадь S = ∫[0, 4] (12x - 3x^2) dx.
3. Вычислим интеграл. Сначала найдем первообразную функции 12x - 3x^2:
• Первообразная от 12x равна 6x^2.
• Первообразная от -3x^2 равна -x^3.
• Таким образом, первообразная функции 12x - 3x^2 будет равна: 6x^2 - x^3.
4. Подставим границы интегрирования. Теперь подставим границы 0 и 4 в найденную первообразную:
• S = [6(4^2) - (4^3)] - [6(0^2) - (0^3)]
• Вычислим: S = [6(16) - 64] - [0 - 0] = [96 - 64] = 32.

Итак, площадь фигуры, ограниченной линиями y = 12x - 3x^2 и y = 0, равна 32.