Как можно решить неравенство:

log5(x-3)+log5(x+1)=1?

Алгебра 10 класс Логарифмические неравенства решение неравенства логарифмы алгебра 10 класс Логарифмическое уравнение неравенства с логарифмами Новый

Для решения неравенства log5(x-3) + log5(x+1) = 1, давайте сначала упростим его. Мы можем воспользоваться свойством логарифмов, которое гласит, что сумма логарифмов равна логарифму произведения. То есть:

Шаг 1: Применение свойства логарифмов

Мы можем записать:

• log5((x-3)(x+1)) = 1

Шаг 2: Преобразование логарифма в экспоненту

Теперь мы можем преобразовать это уравнение в экспоненциальную форму. Если log5(a) = b, то a = 5^b. В нашем случае:

• (x-3)(x+1) = 5^1
• (x-3)(x+1) = 5

Шаг 3: Раскрытие скобок

Теперь раскроем скобки:

• x^2 + x - 3x - 3 = 5
• x^2 - 2x - 3 = 5

Шаг 4: Перенос всех членов в одну сторону

Переносим 5 влево:

• x^2 - 2x - 3 - 5 = 0
• x^2 - 2x - 8 = 0

Шаг 5: Решение квадратного уравнения

Теперь у нас есть квадратное уравнение. Мы можем решить его с помощью дискриминанта:

• D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4*1*(-8) = 4 + 32 = 36

Так как D > 0, у нас есть два действительных корня:

• x1 = (2 + √36) / 2 = (2 + 6) / 2 = 4
• x2 = (2 - √36) / 2 = (2 - 6) / 2 = -2

Шаг 6: Проверка корней на допустимость

Теперь мы должны проверить, какие из найденных корней допустимы. Логарифм определён только для положительных аргументов:

• x - 3 > 0 ⟹ x > 3
• x + 1 > 0 ⟹ x > -1

Из этих условий видно, что единственный допустимый корень - это x = 4.

Шаг 7: Ответ

Таким образом, решением данного уравнения является:

• x = 4