Для решения неравенства log5(x-3) + log5(x+1) = 1, давайте сначала упростим его. Мы можем воспользоваться свойством логарифмов, которое гласит, что сумма логарифмов равна логарифму произведения. То есть:

Мы можем записать:

• log5((x-3)(x+1)) = 1

Теперь мы можем преобразовать это уравнение в экспоненциальную форму. Если log5(a) = b, то a = 5^b. В нашем случае:

• (x-3)(x+1) = 5^1
• (x-3)(x+1) = 5

Теперь раскроем скобки:

• x^2 + x - 3x - 3 = 5
• x^2 - 2x - 3 = 5

Переносим 5 влево:

• x^2 - 2x - 3 - 5 = 0
• x^2 - 2x - 8 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение. Мы можем решить его с помощью дискриминанта:

• D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4*1*(-8) = 4 + 32 = 36

Так как D > 0, у нас есть два действительных корня:

• x1 = (2 + √36) / 2 = (2 + 6) / 2 = 4
• x2 = (2 - √36) / 2 = (2 - 6) / 2 = -2

Теперь мы должны проверить, какие из найденных корней допустимы. Логарифм определён только для положительных аргументов:

• x - 3 > 0 ⟹ x > 3
• x + 1 > 0 ⟹ x > -1

Из этих условий видно, что единственный допустимый корень - это x = 4.

Таким образом, решением данного уравнения является:

• x = 4