Как найти площадь фигуры, ограниченной линиями: y=5x-x^2 и y=x+3?

Алгебра 10 класс Площадь фигур, ограниченных кривыми площадь фигуры алгебра y=5x-x^2 y=x+3 ограниченные линии нахождение площади математические функции графики интегралы решения задач Новый

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной кривыми y = 5x - x^2 и y = x + 3, следуйте следующим шагам:

1. Найдите точки пересечения кривых. Для этого приравняем уравнения друг другу:
• 5x - x^2 = x + 3
• Приведем уравнение к стандартному виду:
• -x^2 + 5x - x - 3 = 0
• -x^2 + 4x - 3 = 0
• Умножим на -1, чтобы избавиться от отрицательного знака:
• x^2 - 4x + 3 = 0
• Теперь решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
• D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4*1*3 = 16 - 12 = 4
• Корни уравнения находятся по формуле: x = ( -b ± √D ) / 2a:
• x1 = (4 + 2) / 2 = 3, x2 = (4 - 2) / 2 = 1
• Таким образом, точки пересечения находятся в x = 1 и x = 3.
2. Найдите соответствующие значения y для точек пересечения. Подставим x в одно из уравнений, например, в y = x + 3:
• Для x = 1: y = 1 + 3 = 4
• Для x = 3: y = 3 + 3 = 6
3. Теперь определим площадь фигуры, ограниченной этими кривыми. Площадь можно найти по формуле:
• Площадь = интеграл от (верхняя функция - нижняя функция) по границам интегрирования.
• В данном случае верхняя функция - это y = 5x - x^2, а нижняя - y = x + 3.
• Итак, площадь будет равна:
• Площадь = интеграл от 1 до 3 ( (5x - x^2) - (x + 3) ) dx
• Упростим подынтегральное выражение:
• Площадь = интеграл от 1 до 3 (5x - x^2 - x - 3) dx = интеграл от 1 до 3 (-x^2 + 4x - 3) dx
4. Теперь вычислим интеграл:
• Интеграл (-x^2 + 4x - 3) dx = -(x^3)/3 + 2x^2 - 3x
• Теперь подставим границы интегрирования:
• Площадь = [-(3^3)/3 + 2*(3^2) - 3*3] - [-(1^3)/3 + 2*(1^2) - 3*1]
• Площадь = [-(27)/3 + 18 - 9] - [-(1/3) + 2 - 3]
• Площадь = [-9 + 18 - 9] - [-(1/3) - 1]
• Площадь = [0] - [-4/3] = 4/3

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной заданными кривыми, равна 4/3 квадратных единиц.