Давайте разберем каждое из предложенных уравнений и неравенств по отдельности.

Для начала упростим неравенство:

1. Разделим обе стороны на 4: sin(x/4) >= 1/2.

Теперь найдем, при каких значениях x это неравенство выполняется. Мы знаем, что синус равен 1/2 в следующих точках:

• x/4 = π/6 + 2kπ, где k — целое число;
• x/4 = 5π/6 + 2kπ, где k — целое число.

Теперь умножим на 4, чтобы найти x:

• x = 4(π/6) + 8kπ = 2π/3 + 8kπ;
• x = 4(5π/6) + 8kπ = 10π/3 + 8kπ.

Таким образом, решение неравенства: x = 2π/3 + 8kπ и x = 10π/3 + 8kπ, где k — целое число.

Сначала упростим неравенство:

1. Переносим 1 на другую сторону: 3ctg(π/4 - 2x) > 1.
2. Разделим обе стороны на 3: ctg(π/4 - 2x) > 1/3.

Теперь вспомним, что ctg(t) = 1/tan(t). Таким образом, неравенство можно переписать как:

tan(π/4 - 2x) < 3.

Теперь мы можем решить это неравенство:

• π/4 - 2x < arctan(3) + kπ, где k — целое число;
• или π/4 - 2x > arctan(3) + kπ.

Теперь выразим x:

• 2x > π/4 - arctan(3) - kπ, откуда x < (π/4 - arctan(3) - kπ)/2;
• или 2x < π/4 - arctan(3) + kπ, откуда x > (π/4 - arctan(3) + kπ)/2.

Таким образом, получаем два диапазона для x в зависимости от значения k.

Это выражение можно упростить, используя формулу синуса разности:

sin(a)cos(b) - cos(a)sin(b) = sin(a - b).

В нашем случае a = x и b = π/6. Поэтому:

sin(x)cos(π/6) - cos(x)sin(π/6) = sin(x - π/6).

Таким образом, результатом упрощения будет:

sin(x - π/6).

Если у вас есть дополнительные вопросы или вы хотите разобрать что-то конкретное подробнее, не стесняйтесь спрашивать!