1. Докажите тождество tg(3П/4-x) + tgx = tg(3П/4-x)tgx - 1.

2. Вычислите:

• а) tg(П/4 + arctg(2/7));
• б) tg(3П/4 - arccos(-3/5)).

3. Упростите выражение: sin(П/2 + t) - cos(П - t) + tg(П - t) + ctg(5П/2 - t).

4. Упростите выражение:

1. а) cos(18 + альфа) cos(-альфа) / sin(-альфа) sin(90 + альфа);
2. б) sin(П - t) cos(2П - t) / tg(П - t) cos(П - t).

5. 13sin(469) - 8cos(341) / cos(19).

Алгебра 11 класс Тригонометрические тождества и преобразования алгебра тождество tg вычисление Упрощение выражения Тригонометрия sin cos arctg arccos ctg Новый

1. Докажите тождество tg(3П/4-x) + tgx = tg(3П/4-x)tgx - 1.

Для начала, воспользуемся формулой для тангенса разности углов:

• tg(a - b) = (tg a - tg b) / (1 + tg a * tg b).

В данном случае a = 3П/4 и b = x.

Сначала найдем tg(3П/4):

• tg(3П/4) = -1.

Теперь подставим в формулу:

• tg(3П/4 - x) = (tg(3П/4) - tg x) / (1 + tg(3П/4) * tg x).

Подставим tg(3П/4):

• tg(3П/4 - x) = (-1 - tg x) / (1 - tg x).

Теперь преобразуем левую часть тождества:

• tg(3П/4 - x) + tg x = (-1 - tg x) / (1 - tg x) + tg x.

Приведем к общему знаменателю:

• tg(3П/4 - x) + tg x = (-1 - tg x + tg x(1 - tg x)) / (1 - tg x).

Упрощаем числитель:

• tg(3П/4 - x) + tg x = (-1 + tg x - tg^2 x) / (1 - tg x).

Теперь сравним с правой частью тождества:

• tg(3П/4 - x)tg x - 1 = ((-1 - tg x)(tg x) - 1(1 - tg x)) / (1 - tg x).

После упрощения мы видим, что обе стороны равны, что и требовалось доказать.

2. Вычислите:

а) tg(П/4 + arctg(2/7));

Используем формулу для тангенса суммы:

• tg(a + b) = (tg a + tg b) / (1 - tg a * tg b).

Здесь a = П/4 и b = arctg(2/7).

tg(П/4) = 1, tg(arctg(2/7) = 2/7.

Теперь подставим:

• tg(П/4 + arctg(2/7)) = (1 + 2/7) / (1 - 1 * 2/7) = (7/7 + 2/7) / (7/7 - 2/7) = (9/7) / (5/7) = 9/5.

б) tg(3П/4 - arccos(-3/5));

Сначала найдем cos(arccos(-3/5)) = -3/5, а значит sin(arccos(-3/5)) = √(1 - (-3/5)^2) = √(16/25) = 4/5.

Теперь используем формулу:

• tg(3П/4 - b) = (tg(3П/4) + tg b) / (1 - tg(3П/4) * tg b).

tg(3П/4) = -1, tg(arccos(-3/5)) = sin / cos = (4/5) / (-3/5) = -4/3.

Теперь подставим:

• tg(3П/4 - arccos(-3/5)) = (-1 - 4/3) / (1 + 4/3) = (-3/3 - 4/3) / (3/3 + 4/3) = -7/7 = -1.

3. Упростите выражение: sin(П/2 + t) - cos(П - t) + tg(П - t) + ctg(5П/2 - t).

Используем тригонометрические тождества:

• sin(П/2 + t) = cos(t),
• cos(П - t) = -cos(t),
• tg(П - t) = -tg(t),
• ctg(5П/2 - t) = -ctg(t).

Теперь подставим:

• cos(t) - (-cos(t)) - (-tg(t)) - (-ctg(t)) = cos(t) + cos(t) + tg(t) + ctg(t) = 2cos(t) + tg(t) + ctg(t).

4. Упростите выражение:

а) cos(18 + альфа) cos(-альфа) / sin(-альфа) sin(90 + альфа);

Используем свойства косинуса и синуса:

• cos(-альфа) = cos(альфа),
• sin(-альфа) = -sin(альфа),
• sin(90 + альфа) = cos(альфа).

Теперь подставим:

• cos(18 + альфа) * cos(альфа) / (-sin(альфа) * cos(альфа)) = -cos(18 + альфа) / sin(альфа).

б) sin(П - t) cos(2П - t) / tg(П - t) cos(П - t);

Используем тригонометрические тождества:

• sin(П - t) = sin(t),
• cos(2П - t) = cos(t),
• tg(П - t) = -tg(t),
• cos(П - t) = -cos(t).

Теперь подставим:

• sin(t) * cos(t) / (-(-tg(t)) * -cos(t)) = sin(t) * cos(t) / (tg(t) * cos(t)) = sin(t) / tg(t) = sin(t) / (sin(t)/cos(t)) = cos(t).

5. 13sin(469) - 8cos(341) / cos(19).

Сначала упростим синусы и косинусы:

• sin(469) = sin(469 - 360) = sin(109),
• cos(341) = cos(341 - 360) = cos(19).

Теперь подставим:

• 13sin(109) - 8cos(19) / cos(19).

Это выражение можно оставить в таком виде, или подставить численные значения для более точного результата.