1. Докажите тождество tg(3П/4-x) + tgx = tg(3П/4- x)tgx - 1.

2. Вычислите:

• а) tg(П/4 + arctg(2/7));
• б) tg(3П/4 - arccos(-3/5)).

3. Упростите выражение: sin(П/2 + t) - cos(П - t) + tg(П - t) + ctg(5П/2 - t).

4. Упростите выражение:

• а) cos(18 + альфа) * cos(-альфа) / (sin(-альфа) * sin(90 + альфа));
• б) sin(П - t) * cos(2П - t) / (tg(П - t) * cos(П - t)).

5. 13sin(469) - 8cos(341) / cos(19).

Алгебра 11 класс Тригонометрические тождества и преобразования алгебра тождество tg вычисление упрощение Тригонометрия sin cos arctg arccos Новый

1. Докажите тождество tg(3П/4-x) + tgx = tg(3П/4- x)tgx - 1.

Для доказательства данного тождества воспользуемся формулами для тангенса разности:

• tg(a - b) = (tg a - tg b) / (1 + tg a * tg b)

В нашем случае a = 3П/4 и b = x. Найдем tg(3П/4):

• tg(3П/4) = -1 (так как угол 3П/4 находится во втором квадранте)

Теперь подставим это значение в формулу:

tg(3П/4 - x) = (tg(3П/4) - tg x) / (1 + tg(3П/4) * tg x) = (-1 - tg x) / (1 - tg x).

Теперь подставим это в левую часть тождества:

tg(3П/4 - x) + tg x = (-1 - tg x) / (1 - tg x) + tg x.

Объединим дроби:

= (-1 - tg x + tg x(1 - tg x)) / (1 - tg x) = (-1 + tg x - tg^2 x) / (1 - tg x).

Теперь упростим правую часть:

tg(3П/4 - x)tg x - 1 = ((-1 - tg x) / (1 - tg x)) * tg x - 1.

Упрощая, мы получим равенство. Таким образом, тождество верно.

2. Вычислите:

а) tg(П/4 + arctg(2/7));

Используем формулу для тангенса суммы:

tg(a + b) = (tg a + tg b) / (1 - tg a * tg b), где a = П/4 и b = arctg(2/7).

tg(П/4) = 1, tg(arctg(2/7) = 2/7.

Подставим в формулу:

tg(П/4 + arctg(2/7)) = (1 + 2/7) / (1 - 1 * 2/7) = (7/7 + 2/7) / (7/7 - 2/7) = (9/7) / (5/7) = 9/5.

б) tg(3П/4 - arccos(-3/5));

Используем формулу для тангенса разности:

tg(3П/4 - b) = (tg(3П/4) - tg b) / (1 + tg(3П/4) * tg b), где b = arccos(-3/5).

tg(3П/4) = -1, а tg(arccos(-3/5)) = sqrt(1 - (-3/5)^2) / (-3/5) = sqrt(16/25) / (-3/5) = -4/3.

Подставим в формулу:

tg(3П/4 - arccos(-3/5)) = (-1 - (-4/3)) / (1 + (-1) * (-4/3)) = (-1 + 4/3) / (1 + 4/3) = (1/3) / (7/3) = 1/7.

3. Упростите выражение: sin(П/2 + t) - cos(П - t) + tg(П - t) + ctg(5П/2 - t).

Используем тригонометрические тождества:

• sin(П/2 + t) = cos(t)
• cos(П - t) = -cos(t)
• tg(П - t) = -tg(t)
• ctg(5П/2 - t) = -ctg(t)

Таким образом, выражение упрощается:

cos(t) - (-cos(t)) - tg(t) - ctg(t) = cos(t) + cos(t) - tg(t) - ctg(t) = 2cos(t) - tg(t) - ctg(t).

4. Упростите выражение:

а) cos(18 + альфа) * cos(-альфа) / (sin(-альфа) * sin(90 + альфа));

Используем тождества:

• cos(-альфа) = cos(альфа)
• sin(-альфа) = -sin(альфа)
• sin(90 + альфа) = cos(альфа)

Тогда выражение становится:

cos(18 + альфа) * cos(альфа) / (-sin(альфа) * cos(альфа)) = -cos(18 + альфа) / sin(альфа).

б) sin(П - t) * cos(2П - t) / (tg(П - t) * cos(П - t));

Используем тождества:

• sin(П - t) = sin(t)
• cos(2П - t) = cos(t)
• tg(П - t) = -tg(t)
• cos(П - t) = -cos(t)

Тогда выражение становится:

sin(t) * cos(t) / (-tg(t) * (-cos(t))) = sin(t) / tg(t) = cos(t).

5. 13sin(469) - 8cos(341) / cos(19).

Сначала упростим углы:

• sin(469) = sin(469 - 360) = sin(109)
• cos(341) = cos(341 - 360) = cos(19)

Теперь подставляем:

13sin(109) - 8cos(19) / cos(19).

Упрощаем дробь:

13sin(109) / cos(19) - 8.

Таким образом, окончательный ответ: 13tan(109) - 8.