1. Используя правила вычисления производных, найдите f' * (x):

• a) f(x) = 3x ^ 5 - 2x + 7
• b) f(x) = 2/(5x ^ 5) + √x
• c) f(x) = x ^ 3 (x ^ 2 + 3)

2. По прямой по закону s(t) = t ^ 3 - t ^ 2 - 5t + 3, где путь в метрах, а время в секундах. Определите момент времени, когда путь окажется равен нулю.

3. Дано уравнение кривой: f(x) = (x + 3)/x

• a) Найдите производную функции
• b) Используя результаты предыдущего действия, составьте уравнение касательной к графику функции f(x) = (x + 3)/x при x=2

4. Найдите производную функции: sin^2 (5x - 3)

Алгебра 11 класс Производные и касательные алгебра 11 класс производные функции вычисление производных уравнение кривой касательная к графику момент времени закон движения функции и графики задачи по алгебре Новый

Давайте разберем каждую задачу по порядку.

1. Вычисление производных:

a) f(x) = 3x^5 - 2x + 7

• Для нахождения производной используем правило дифференцирования степенной функции: (ax^n)' = nax^(n-1).
• Применим это правило к каждому члену функции:
• (3x^5)' = 15x^4,
• (-2x)' = -2,
• (7)' = 0.
• Теперь складываем полученные производные:
• f'(x) = 15x^4 - 2.

b) f(x) = 2/(5x^5) + √x

• Сначала преобразуем функцию: 2/(5x^5) = (2/5)x^(-5).
• Теперь находим производную:
• (2/5)x^(-5)' = (-10/5)x^(-6) = -2/x^6,
• (√x)' = (1/2)x^(-1/2) = 1/(2√x).
• Теперь складываем производные:
• f'(x) = -2/x^6 + 1/(2√x).

c) f(x) = x^3(x^2 + 3)

• Здесь используем правило произведения: (uv)' = u'v + uv'.
• Пусть u = x^3, v = x^2 + 3.
• u' = 3x^2,
• v' = 2x.
• Теперь применяем правило произведения:
• f'(x) = (3x^2)(x^2 + 3) + (x^3)(2x).
• Упрощаем:
• f'(x) = 3x^4 + 9x^2 + 2x^4 = 5x^4 + 9x^2.

2. Определение момента времени, когда путь равен нулю:

s(t) = t^3 - t^2 - 5t + 3. Чтобы найти момент времени, когда путь равен нулю, решим уравнение:

• t^3 - t^2 - 5t + 3 = 0.

Для решения этого кубического уравнения можно использовать метод проб и подбора, либо численные методы. Например, можно проверить значения t = 1, 2, 3 и так далее, чтобы найти корни. После нахождения корней, можно определить, какой из них соответствует моменту времени, когда путь равен нулю.

3. Производная функции и уравнение касательной:

a) f(x) = (x + 3)/x

• Используем правило деления: (u/v)' = (u'v - uv')/v^2.
• Пусть u = x + 3, v = x.
• u' = 1,
• v' = 1.
• Теперь подставляем в формулу:
• f'(x) = (1 * x - (x + 3) * 1) / x^2 = (x - x - 3) / x^2 = -3/x^2.

b) Уравнение касательной к графику функции при x=2:

• Сначала находим значение функции в точке x=2:
• f(2) = (2 + 3)/2 = 5/2.
• Теперь находим производную в этой точке:
• f'(2) = -3/(2^2) = -3/4.
• Теперь используем уравнение касательной: y - f(a) = f'(a)(x - a), где a = 2.
• Подставляем значения:
• y - 5/2 = -3/4(x - 2).
• Упрощаем уравнение касательной.

4. Найдите производную функции: sin^2(5x - 3):

• Используем правило цепочки: (g(h(x)))' = g'(h(x)) * h'(x).
• Пусть g(u) = u^2, h(x) = sin(5x - 3).
• g'(u) = 2u,
• h'(x) = cos(5x - 3) * 5 (по правилу производной синуса).
• Теперь подставляем в правило цепочки:
• (sin^2(5x - 3))' = 2sin(5x - 3) * cos(5x - 3) * 5 = 10sin(5x - 3)cos(5x - 3).

Таким образом, мы нашли производные и решили все задачи. Если у вас есть дополнительные вопросы, пожалуйста, задавайте!