1) Как можно определить абциссу точки на графике функции f(x)=x^3+x+1, если известно, что касательная в точке с абциссой х=1 пересекает ординату на уровне 31?

2) Как найти абциссу точки А на графике функции f(x)=x^2+x+5, если касательная, проведенная через эту точку, наклонена к оси ОХ под углом, тангенс которого равен 5?

Алгебра 11 класс Касательные и производные функций определение абциссы график функции касательная ордината угол наклона тангенс алгебра 11 класс задачи по алгебре функции точки на графике Новый

Давайте разберем оба задания по порядку.

1) Определение абциссы точки на графике функции f(x) = x^3 + x + 1.

Для того чтобы найти абсциссу точки, где касательная пересекает ординату на уровне 31, нам нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдем производную функции f(x), чтобы определить наклон касательной в точке с абсциссой x = 1.
2. Вычислим значение функции в этой точке: f(1).
3. Используя значение производной и значение функции, запишем уравнение касательной.
4. Установим уравнение касательной равным 31 и найдем абсциссу точки пересечения.

Теперь давайте выполним эти шаги:

• 1. Производная функции f(x) = x^3 + x + 1: f'(x) = 3x^2 + 1.
• 2. Вычисляем f(1): f(1) = 1^3 + 1 + 1 = 3.
• 3. Значение производной в точке x = 1: f'(1) = 3(1^2) + 1 = 4. Таким образом, у нас есть точка (1, 3) и наклон 4.
• 4. Уравнение касательной: y - 3 = 4(x - 1), что можно переписать как y = 4x - 1.
• 5. Устанавливаем это уравнение равным 31: 4x - 1 = 31. Решаем: 4x = 32, x = 8.

Таким образом, абсцисса точки, в которой касательная пересекает ординату на уровне 31, равна 8.

2) Нахождение абсциссы точки А на графике функции f(x) = x^2 + x + 5.

Здесь нам нужно найти абсциссу точки A, если касательная, проведенная через эту точку, наклонена к оси OX под углом, тангенс которого равен 5. Это означает, что производная функции в данной точке равна 5.

1. Найдем производную функции f(x).
2. Установим производную равной 5 и решим уравнение для нахождения абсциссы.
3. Подставим найденную абсциссу в уравнение функции, чтобы найти соответствующую ординату.

Теперь выполним эти шаги:

• 1. Производная функции f(x) = x^2 + x + 5: f'(x) = 2x + 1.
• 2. Установим производную равной 5: 2x + 1 = 5. Решаем это уравнение: 2x = 4, x = 2.
• 3. Теперь подставим x = 2 в уравнение функции: f(2) = 2^2 + 2 + 5 = 4 + 2 + 5 = 11.

Таким образом, абсцисса точки A на графике функции равна 2.