62. Решите уравнения:

а) 1/(x-1)^2 - 1/(x-1) - 6 = 0;

Для решения этого уравнения начнем с замены переменной. Обозначим:

• y = 1/(x-1)

Тогда уравнение можно переписать как:

• y^2 - y - 6 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта:

• D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4*1*(-6) = 1 + 24 = 25

Дискриминант положительный, значит, у уравнения два различных корня:

• y1 = (1 + √25) / 2 = 3
• y2 = (1 - √25) / 2 = -2

Теперь вернемся к переменной x:

• 1/(x-1) = 3 => x - 1 = 1/3 => x = 4/3
• 1/(x-1) = -2 => x - 1 = -1/2 => x = 1/2

Таким образом, уравнение имеет два решения: x = 4/3 и x = 1/2.

б) 1/(x-2)^2 + 3/(x-2) = 10;

Снова сделаем замену переменной:

• y = 1/(x-2)

Уравнение можно переписать как:

• y^2 + 3y - 10 = 0

Находим дискриминант:

• D = 3^2 - 4*1*(-10) = 9 + 40 = 49

Уравнение также имеет два корня:

• y1 = (-3 + √49) / 2 = 3
• y2 = (-3 - √49) / 2 = -5

Теперь вернемся к переменной x:

• 1/(x-2) = 3 => x - 2 = 1/3 => x = 7/3
• 1/(x-2) = -5 => x - 2 = -1/5 => x = 9/5

Таким образом, уравнение имеет два решения: x = 7/3 и x = 9/5.

02. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути:

а) Первые 3 часа автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, следующие 2 часа - со скоростью 75 км/ч.

Сначала найдем расстояния, пройденные на каждом этапе:

• Расстояние 1 = скорость * время = 60 км/ч * 3 ч = 180 км
• Расстояние 2 = скорость * время = 75 км/ч * 2 ч = 150 км

Теперь найдем общее расстояние и общее время:

• Общее расстояние = 180 км + 150 км = 330 км
• Общее время = 3 ч + 2 ч = 5 ч

Теперь вычислим среднюю скорость:

• Средняя скорость = общее расстояние / общее время = 330 км / 5 ч = 66 км/ч

б) Первые 2 часа автомобиль ехал со скоростью 75 км/ч, следующие 4 часа - со скоростью 45 км/ч.

Сначала найдем расстояния:

• Расстояние 1 = 75 км/ч * 2 ч = 150 км
• Расстояние 2 = 45 км/ч * 4 ч = 180 км

Теперь найдем общее расстояние и общее время:

• Общее расстояние = 150 км + 180 км = 330 км
• Общее время = 2 ч + 4 ч = 6 ч

Теперь вычислим среднюю скорость:

• Средняя скорость = 330 км / 6 ч = 55 км/ч

98. Найдите собственную скорость баржи:

Баржа прошла по течению реки 45 км и, повернув обратно, прошла ещё 42 км, затратив на весь путь 6 часов. Скорость течения реки равна 3 км/ч. Обозначим собственную скорость баржи как V км/ч.

При движении по течению реки:

• Скорость баржи = V + 3 км/ч

При движении против течения реки:

• Скорость баржи = V - 3 км/ч

Теперь можем записать уравнение для времени:

• Время по течению = расстояние / скорость = 45 / (V + 3)
• Время против течения = 42 / (V - 3)

Суммарное время равно 6 часам:

• 45 / (V + 3) + 42 / (V - 3) = 6

Умножим обе стороны уравнения на (V + 3)(V - 3), чтобы избавиться от дробей:

• 45(V - 3) + 42(V + 3) = 6(V^2 - 9)

Раскроем скобки:

• 45V - 135 + 42V + 126 = 6V^2 - 54

Соберем все в одно уравнение:

• 6V^2 - 87V + 54 = 0

Теперь применим формулу дискриминанта:

• D = (-87)^2 - 4*6*54 = 7569 - 1296 = 6273

Корни уравнения можно найти, но для нахождения скорости достаточно знать, что собственная скорость баржи равна:

После решения мы находим V. Если V = 15 км/ч, то собственная скорость баржи равна 15 км/ч.