Для функции f(x) = 2sin(3x) нужно определить: а) множество всех первообразных; б) первообразную, график которой проходит через точку A (П/3; 0).

Алгебра 11 класс Неопределенный интеграл и первообразные функций функция f(x) 2sin(3x) первообразные график функции точка A алгебра 11 класс Новый

Рассмотрим функцию f(x) = 2sin(3x). Для нахождения первообразной этой функции, нам нужно выполнить интегрирование.

а) Множество всех первообразных

Чтобы найти первообразную функции f(x), мы используем правило интегрирования для синуса. Интеграл от sin(kx) равен -1/k * cos(kx) + C, где C - произвольная константа.

В нашем случае k = 3, поэтому:

1. Интегрируем f(x):
2. ∫2sin(3x)dx = 2 * (-1/3 * cos(3x)) + C = -2/3 * cos(3x) + C.

Таким образом, множество всех первообразных функции f(x) можно записать как:

F(x) = -2/3 * cos(3x) + C, где C - произвольная константа.

б) Первообразная, график которой проходит через точку A (П/3; 0)

Теперь нам нужно найти конкретную первообразную, которая проходит через точку A(П/3; 0). Для этого подставим x = П/3 в F(x) и приравняем к 0:

1. Подставляем: F(П/3) = -2/3 * cos(3 * П/3) + C = -2/3 * cos(П) + C.
2. Так как cos(П) = -1, то:
3. F(П/3) = -2/3 * (-1) + C = 2/3 + C.

Теперь приравняем это значение к 0, так как мы знаем, что F(П/3) = 0:

1. 2/3 + C = 0.
2. Следовательно, C = -2/3.

Теперь мы можем записать конкретную первообразную, которая проходит через точку A:

F(x) = -2/3 * cos(3x) - 2/3.

Таким образом, мы нашли и множество всех первообразных, и конкретную первообразную, проходящую через заданную точку.