2025-03-20 19:21:56
Докажите, что для любого значения n выражение (5n+1)^2 - (2n-1)^2 делится на 7.
Алгебра 11 класс Делимость и доказательства алгебра 11 класс доказательство делимости выражение (5n+1)^2 (2n-1)^2 делимость на 7 свойства чисел математическая индукция алгебраические выражения
2025-03-20 19:22:18
Чтобы доказать, что выражение (5n + 1)² - (2n - 1)² делится на 7 для любого целого n, начнем с разложения данного выражения по формуле разности квадратов:
Формула разности квадратов выглядит так:
a² - b² = (a - b)(a + b)
В нашем случае:
- a = 5n + 1
- b = 2n - 1
Теперь подставим a и b в формулу:
(5n + 1)² - (2n - 1)² = [(5n + 1) - (2n - 1)] * [(5n + 1) + (2n - 1)]
Теперь упростим каждую часть:
- (5n + 1) - (2n - 1) = 5n + 1 - 2n + 1 = 3n + 2
- (5n + 1) + (2n - 1) = 5n + 1 + 2n - 1 = 7n
Теперь подставим полученные выражения обратно:
(5n + 1)² - (2n - 1)² = (3n + 2)(7n)
Теперь заметим, что одно из множителей, 7n, явно делится на 7, так как 7 является множителем. Следовательно, произведение (3n + 2)(7n) также делится на 7 для любого целого n.
Таким образом, мы доказали, что выражение (5n + 1)² - (2n - 1)² делится на 7 для любого значения n.
