Докажите, что для любого значения n выражение (5n+1)^2 - (2n-1)^2 делится на 7.

Алгебра 11 класс Делимость и доказательства алгебра 11 класс доказательство делимости выражение (5n+1)^2 (2n-1)^2 делимость на 7 свойства чисел математическая индукция алгебраические выражения Новый

Чтобы доказать, что выражение (5n + 1)² - (2n - 1)² делится на 7 для любого целого n, начнем с разложения данного выражения по формуле разности квадратов:

Формула разности квадратов выглядит так:

a² - b² = (a - b)(a + b)

В нашем случае:

• a = 5n + 1
• b = 2n - 1

Теперь подставим a и b в формулу:

(5n + 1)² - (2n - 1)² = [(5n + 1) - (2n - 1)] * [(5n + 1) + (2n - 1)]

Теперь упростим каждую часть:

• (5n + 1) - (2n - 1) = 5n + 1 - 2n + 1 = 3n + 2
• (5n + 1) + (2n - 1) = 5n + 1 + 2n - 1 = 7n

Теперь подставим полученные выражения обратно:

(5n + 1)² - (2n - 1)² = (3n + 2)(7n)

Теперь заметим, что одно из множителей, 7n, явно делится на 7, так как 7 является множителем. Следовательно, произведение (3n + 2)(7n) также делится на 7 для любого целого n.

Таким образом, мы доказали, что выражение (5n + 1)² - (2n - 1)² делится на 7 для любого значения n.