Для начала давайте разберем каждое из предложений и докажем их равносильность.

Предложение А: Целые числа a и b дают одинаковые остатки при делении на натуральное число m.

Предложение B: Разность двух целых чисел a и b делится на натуральное число m.

Теперь докажем, что эти два предложения равносильны.

1. Докажем, что A подразумевает B:
   • Если a и b дают одинаковые остатки при делении на m, то по определению существует такое целое число k, что:
   • a = km + r и b = km + r, где r - остаток от деления.
   • Тогда разность a - b = (km + r) - (km + r) = 0, которая делится на m.
2. Докажем, что B подразумевает A:
   • Если разность a - b делится на m, то существует такое целое число k, что:
   • a - b = km.
   • Это можно переписать как a = b + km, что означает, что a и b имеют одинаковые остатки при делении на m.

Таким образом, мы доказали, что предложения A и B равносильны.

Предложение A: Натуральные числа a и b взаимно просты.

Предложение B: Наименьшее общее кратное натуральных чисел a и b равно произведению a и b.

Теперь также докажем их равносильность.

1. Докажем, что A подразумевает B:
   • Если a и b взаимно просты, это значит, что их наибольший общий делитель (НОД) равен 1.
   • Согласно свойству НОК, наименьшее общее кратное a и b можно выразить как:
   • НОК(a, b) = (a * b) / НОД(a, b).
   • Так как НОД(a, b) = 1, то НОК(a, b) = (a * b) / 1 = a * b.
2. Докажем, что B подразумевает A:
   • Если НОК(a, b) = a * b, то подставляя в формулу НОК, мы получаем:
   • (a * b) / НОД(a, b) = a * b.
   • Это означает, что НОД(a, b) = 1, что, в свою очередь, говорит о том, что a и b взаимно просты.

Таким образом, мы также доказали, что предложения A и B равносильны.