Докажите, что выражение n^4 + 2n^3 - n^2 - 2n делится на 24, если n принадлежит множеству натуральных чисел N.

Алгебра 11 класс Делимость и свойства чисел алгебра 11 класс Делимость выражение n^4 + 2n^3 - n^2 - 2n натуральные числа доказательство делится на 24 многочлены свойства делимости теорема математика Новый

Для того чтобы доказать, что выражение n^4 + 2n^3 - n^2 - 2n делится на 24 для всех натуральных чисел n, мы можем использовать метод математической индукции и некоторые свойства делимости.

Сначала упростим данное выражение:

n^4 + 2n^3 - n^2 - 2n = n(n^3 + 2n^2 - n - 2)

Теперь мы можем рассмотреть выражение n^3 + 2n^2 - n - 2 и проанализировать его делимость на 12, поскольку 24 = 2 * 12. Мы будем рассматривать делимость на 3 и 4, так как 12 = 3 * 4.

Шаг 1: Делимость на 3

Рассмотрим выражение n^4 + 2n^3 - n^2 - 2n по модулю 3. Мы можем сделать это для всех возможных значений n по модулю 3:

• n ≡ 0 (mod 3):
  • 0^4 + 2*0^3 - 0^2 - 2*0 = 0
• n ≡ 1 (mod 3):
  • 1^4 + 2*1^3 - 1^2 - 2*1 = 1 + 2 - 1 - 2 = 0
• n ≡ 2 (mod 3):
  • 2^4 + 2*2^3 - 2^2 - 2*2 = 16 + 16 - 4 - 4 = 24

Таким образом, выражение делится на 3 для всех n.

Шаг 2: Делимость на 4

Теперь рассмотрим выражение по модулю 4. Аналогично, проверим все возможные остатки:

• n ≡ 0 (mod 4):
  • 0^4 + 2*0^3 - 0^2 - 2*0 = 0
• n ≡ 1 (mod 4):
  • 1^4 + 2*1^3 - 1^2 - 2*1 = 1 + 2 - 1 - 2 = 0
• n ≡ 2 (mod 4):
  • 2^4 + 2*2^3 - 2^2 - 2*2 = 16 + 16 - 4 - 4 = 24
• n ≡ 3 (mod 4):
  • 3^4 + 2*3^3 - 3^2 - 2*3 = 81 + 54 - 9 - 6 = 120

Таким образом, выражение делится на 4 для всех n.

Шаг 3: Заключение

Теперь мы доказали, что выражение n^4 + 2n^3 - n^2 - 2n делится на 3 и на 4 для всех натуральных чисел n. Поскольку 3 и 4 являются взаимно простыми числами, мы можем заключить, что:

24 = 3 * 8

Таким образом, выражение n^4 + 2n^3 - n^2 - 2n делится на 24 для всех натуральных чисел n.

Мы завершили доказательство!