2026-01-12 18:31:13
Если x₁ и x₂ — это корни уравнения 2x² - 7x - 3 = 0, то какие уравнения имеют корнями числа 1/x₁ и 1/x₂?
Алгебра 11 класс Корни уравнений и их свойства корни уравнения алгебра 11 класс 2x² - 7x - 3 обратные корни уравнения с корнями решение уравнений свойства корней дробные корни математические уравнения Новый
2026-01-12 18:31:36
Для того чтобы найти уравнение, имеющее корнями числа 1/x₁ и 1/x₂, сначала найдем сами корни x₁ и x₂ уравнения 2x² - 7x - 3 = 0. Для этого воспользуемся формулой корней квадратного уравнения:
x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a
Где:
- a = 2
- b = -7
- c = -3
Теперь подставим значения a, b и c в формулу:
x = (7 ± √((-7)² - 4 * 2 * (-3))) / (2 * 2)
Сначала найдем дискриминант:
D = (-7)² - 4 * 2 * (-3) = 49 + 24 = 73
Теперь подставим дискриминант обратно в формулу:
x₁ = (7 + √73) / 4
x₂ = (7 - √73) / 4
Теперь, когда мы нашли корни x₁ и x₂, мы можем использовать их для нахождения нового уравнения, корнями которого будут 1/x₁ и 1/x₂.
Корни нового уравнения можно выразить через корни старого уравнения следующим образом:
Если x₁ и x₂ — корни уравнения, то сумма и произведение корней можно найти так:
- Сумма корней: S = x₁ + x₂ = -b/a = 7/2
- Произведение корней: P = x₁ * x₂ = c/a = -3/2
Теперь найдем сумму и произведение корней нового уравнения 1/x₁ и 1/x₂:
- Сумма: S' = 1/x₁ + 1/x₂ = (x₂ + x₁) / (x₁ * x₂) = S / P = (7/2) / (-3/2) = -7/3
- Произведение: P' = (1/x₁) * (1/x₂) = 1/(x₁ * x₂) = 1/P = -2/3
Теперь мы можем записать новое уравнение, используя сумму и произведение его корней:
Уравнение имеет вид:
x² - S'x + P' = 0
Подставим найденные значения S' и P':
x² + (7/3)x - (2/3) = 0
Умножим все уравнение на 3, чтобы избавиться от дробей:
3x² + 7x - 2 = 0
Таким образом, уравнение, корнями которого являются 1/x₁ и 1/x₂, имеет вид:
3x² + 7x - 2 = 0