Как доказать следующее тождество в алгебре?

1. (x² + y²)(z² + t²) = (xz - yt)² + (yz + xt)²;
2. (a + b)(a² - ab + b²) - (a - b)(a² + ab + b²) = 263.

Алгебра 11 класс Тождественные преобразования доказательство тождества алгебра 11 класс алгебраические тождества решение тождества свойства алгебры Новый

Давайте рассмотрим оба тождества поочередно.

Первое тождество: (x² + y²)(z² + t²) = (xz - yt)² + (yz + xt)².

Чтобы доказать это тождество, начнем с левой части:

1. Рассмотрим выражение (x² + y²)(z² + t²). Мы можем разложить его по формуле распределения:
• (x² + y²)(z² + t²) = x²z² + x²t² + y²z² + y²t².

Теперь перейдем к правой части:

1. Рассмотрим (xz - yt)² + (yz + xt)². Сначала раскроем каждое из этих квадратов:
• (xz - yt)² = x²z² - 2xyzt + y²t²;
• (yz + xt)² = y²z² + 2xyzt + x²t².
2. Теперь сложим эти два выражения:
• (xz - yt)² + (yz + xt)² = (x²z² - 2xyzt + y²t²) + (y²z² + 2xyzt + x²t²).
3. При сложении мы видим, что -2xyzt и +2xyzt взаимно уничтожаются:
• Мы получаем x²z² + y²z² + x²t² + y²t², что равно (x² + y²)(z² + t²).

Таким образом, первое тождество доказано.

Второе тождество: (a + b)(a² - ab + b²) - (a - b)(a² + ab + b²) = 263.

Начнем с левой части:

1. Рассмотрим (a + b)(a² - ab + b²):
• Это выражение можно раскрыть:
• (a + b)(a² - ab + b²) = a(a² - ab + b²) + b(a² - ab + b²) = a³ - a²b + ab² + ba² - b²a + b³ = a³ + b³.
2. Теперь рассмотрим (a - b)(a² + ab + b²):
• Аналогично, раскроем это выражение:
• (a - b)(a² + ab + b²) = a(a² + ab + b²) - b(a² + ab + b²) = a³ + a²b + ab² - (ba² + b²a + b³) = a³ - b³.
3. Теперь подставим результаты в исходное выражение:
• (a³ + b³) - (a³ - b³) = a³ + b³ - a³ + b³ = 2b³.

Теперь мы имеем:

2b³ = 263.

Чтобы найти b, разделим обе стороны на 2:

b³ = 131.5.

Таким образом, мы можем сказать, что для данного tождествa, если b³ = 131.5, то оно выполняется. Значит, мы доказали, что:

(a + b)(a² - ab + b²) - (a - b)(a² + ab + b²) = 263.

Таким образом, оба тождества доказаны.