Как можно доказать, что произведение четырех последовательных натуральных чисел делится на 4, 12 и 24?

Алгебра 11 класс Делимость натуральных чисел доказательство произведения натуральных чисел делимость на 4 делимость на 12 делимость на 24 алгебра 11 класс последовательные натуральные числа Новый

Давайте рассмотрим произведение четырех последовательных натуральных чисел, которые можно обозначить как:

n, n+1, n+2, n+3

Теперь мы хотим доказать, что это произведение делится на 4, 12 и 24. Начнем с каждого из этих делителей по порядку.

1. Делимость на 4:

В любом наборе из четырех последовательных натуральных чисел обязательно будет как минимум два четных числа. Это связано с тем, что четные и нечетные числа чередуются. Поскольку произведение двух четных чисел всегда делится на 4, то:

• Например, если n четное, то n и n+2 четные.
• Если n нечетное, то n+1 и n+3 четные.

Следовательно, произведение n(n+1)(n+2)(n+3) делится на 4.

2. Делимость на 12:

Чтобы доказать делимость на 12, нам нужно, чтобы произведение делилось на 3 и на 4. Мы уже доказали, что оно делится на 4. Теперь проверим делимость на 3:

• В любом наборе из трех последовательных чисел обязательно будет хотя бы одно число, кратное 3.
• Таким образом, среди n, n+1, n+2, n+3 всегда найдется число, которое делится на 3.

Следовательно, произведение также делится на 12 (так как 12 = 3 * 4).

3. Делимость на 24:

Теперь давайте проверим, делится ли произведение на 24. Для этого нужно, чтобы оно делилось на 8 и на 3:

• Как мы уже выяснили, среди четырех последовательных чисел будет два четных числа, что гарантирует наличие хотя бы одного числа, кратного 4.
• Кроме того, одно из четных чисел обязательно будет кратно 2, следовательно, у нас будет два четных числа (например, n и n+2 или n+1 и n+3), что в сумме дает кратность 8.
• Также мы ранее установили, что произведение делится на 3.

Таким образом, произведение четырех последовательных натуральных чисел делится на 24 (так как 24 = 8 * 3).

Итак, мы доказали, что произведение четырех последовательных натуральных чисел делится на 4, 12 и 24.