Как можно доказать с помощью математической индукции, что выполняется неравенство: корень n-ой степени из произведения положительных чисел a₁, a₂, ..., aₙ не превышает их среднее арифметическое? Указание: при переходе от n к (n + 1) покажите, что если неравенство верно для n, то оно также будет верно для 2n и (n - 1). При переходе от n к (n - 1) найдите такое число x, чтобы среднее арифметическое a₁, a₂, ..., aₙ-1 и x совпадало со средним арифметическим a₁, a₂, ..., aₙ-1.

Алгебра 11 класс Неравенства и математическая индукция математическая индукция неравенство среднее арифметическое корень степени положительные числа доказательство алгебра 11 класс Новый

Давайте рассмотрим доказательство неравенства, используя метод математической индукции. Мы хотим доказать, что для любого натурального n выполняется неравенство:

(1) корень n-ой степени из произведения положительных чисел a₁, a₂, ..., aₙ не превышает их среднее арифметическое.

Сначала мы проверим базовый случай для n = 1:

1. Когда n = 1, у нас есть только одно положительное число a₁. В этом случае корень 1-ой степени из a₁ равен a₁, и среднее арифметическое также равно a₁. Таким образом, неравенство выполняется:
2. √(a₁) = a₁ ≤ a₁.

Теперь предположим, что неравенство выполняется для некоторого n, то есть:

(2) √(a₁ * a₂ * ... * aₙ) ≤ (a₁ + a₂ + ... + aₙ) / n.

Теперь мы должны показать, что это неравенство выполняется для n + 1.

Рассмотрим n + 1 положительных чисел a₁, a₂, ..., aₙ, aₙ₊₁. Мы можем выразить среднее арифметическое для n + 1 чисел следующим образом:

(3) M = (a₁ + a₂ + ... + aₙ + aₙ₊₁) / (n + 1).

Мы знаем, что:

(4) M(n) = (a₁ + a₂ + ... + aₙ) / n.

Теперь, используя предположение индукции, мы можем записать:

(5) M(n) = (a₁ + a₂ + ... + aₙ) / n ≤ √(a₁ * a₂ * ... * aₙ).

Теперь давайте рассмотрим новое неравенство:

(6) √(a₁ * a₂ * ... * aₙ * aₙ₊₁) ≤ M.

Мы можем использовать неравенство, известное как неравенство Коши-Буняковского, которое гласит, что для любых положительных чисел a и b:

(7) √(a * b) ≤ (a + b) / 2.

Теперь применим его к n + 1 числам:

(8) √(a₁ * a₂ * ... * aₙ * aₙ₊₁) ≤ (√(a₁ * a₂ * ... * aₙ) + √(aₙ₊₁)) / 2.

Итак, если мы предположим, что ≤ выполняется для n, то мы можем вывести это неравенство и для n + 1.

Теперь рассмотрим переход от n к n - 1. Мы можем взять n - 1 положительных чисел a₁, a₂, ..., aₙ₋₁ и добавить к ним некоторое положительное число x так, чтобы среднее арифметическое не изменилось. Таким образом, мы можем записать:

(9) (a₁ + a₂ + ... + aₙ₋₁ + x) / n = (a₁ + a₂ + ... + aₙ) / n.

Это значит, что:

(10) x = (a₁ + a₂ + ... + aₙ) - (n - 1) * M(n - 1).

Таким образом, мы можем заключить, что если неравенство выполняется для n, то оно также будет верно для n - 1.

Теперь, когда мы провели индукцию, мы можем сказать, что неравенство выполняется для всех натуральных n. Таким образом, мы доказали, что:

(11) √(a₁ * a₂ * ... * aₙ) ≤ (a₁ + a₂ + ... + aₙ) / n.

Это завершает наше доказательство.