2025-03-01 00:48:20
Как можно доказать с помощью математической индукции, что выполняется неравенство: корень n-ой степени из произведения положительных чисел a₁, a₂, ..., aₙ не превышает их среднее арифметическое? Указание: при переходе от n к (n + 1) покажите, что если неравенство верно для n, то оно также будет верно для 2n и (n - 1). При переходе от n к (n - 1) найдите такое число x, чтобы среднее арифметическое a₁, a₂, ..., aₙ-1 и x совпадало со средним арифметическим a₁, a₂, ..., aₙ-1.
Алгебра 11 класс Неравенства и математическая индукция математическая индукция неравенство среднее арифметическое корень степени положительные числа доказательство алгебра 11 класс
2025-03-01 00:48:37
Давайте рассмотрим доказательство неравенства, используя метод математической индукции. Мы хотим доказать, что для любого натурального n выполняется неравенство:
(1) корень n-ой степени из произведения положительных чисел a₁, a₂, ..., aₙ не превышает их среднее арифметическое.
Сначала мы проверим базовый случай для n = 1:
- Когда n = 1, у нас есть только одно положительное число a₁. В этом случае корень 1-ой степени из a₁ равен a₁, и среднее арифметическое также равно a₁. Таким образом, неравенство выполняется:
- √(a₁) = a₁ ≤ a₁.
Теперь предположим, что неравенство выполняется для некоторого n, то есть:
(2) √(a₁ * a₂ * ... * aₙ) ≤ (a₁ + a₂ + ... + aₙ) / n.
Теперь мы должны показать, что это неравенство выполняется для n + 1.
Рассмотрим n + 1 положительных чисел a₁, a₂, ..., aₙ, aₙ₊₁. Мы можем выразить среднее арифметическое для n + 1 чисел следующим образом:
(3) M = (a₁ + a₂ + ... + aₙ + aₙ₊₁) / (n + 1).
Мы знаем, что:
(4) M(n) = (a₁ + a₂ + ... + aₙ) / n.
Теперь, используя предположение индукции, мы можем записать:
(5) M(n) = (a₁ + a₂ + ... + aₙ) / n ≤ √(a₁ * a₂ * ... * aₙ).
Теперь давайте рассмотрим новое неравенство:
(6) √(a₁ * a₂ * ... * aₙ * aₙ₊₁) ≤ M.
Мы можем использовать неравенство, известное как неравенство Коши-Буняковского, которое гласит, что для любых положительных чисел a и b:
(7) √(a * b) ≤ (a + b) / 2.
Теперь применим его к n + 1 числам:
(8) √(a₁ * a₂ * ... * aₙ * aₙ₊₁) ≤ (√(a₁ * a₂ * ... * aₙ) + √(aₙ₊₁)) / 2.
Итак, если мы предположим, что ≤ выполняется для n, то мы можем вывести это неравенство и для n + 1.
Теперь рассмотрим переход от n к n - 1. Мы можем взять n - 1 положительных чисел a₁, a₂, ..., aₙ₋₁ и добавить к ним некоторое положительное число x так, чтобы среднее арифметическое не изменилось. Таким образом, мы можем записать:
(9) (a₁ + a₂ + ... + aₙ₋₁ + x) / n = (a₁ + a₂ + ... + aₙ) / n.
Это значит, что:
(10) x = (a₁ + a₂ + ... + aₙ) - (n - 1) * M(n - 1).
Таким образом, мы можем заключить, что если неравенство выполняется для n, то оно также будет верно для n - 1.
Теперь, когда мы провели индукцию, мы можем сказать, что неравенство выполняется для всех натуральных n. Таким образом, мы доказали, что:
(11) √(a₁ * a₂ * ... * aₙ) ≤ (a₁ + a₂ + ... + aₙ) / n.
Это завершает наше доказательство.
