Как можно доказать тождество: (м+п)(п-м)^2 + 2мп(м+п) = (п+м)^3 - 2мп(м+п)?

Алгебра 11 класс Тождественные преобразования алгебраических выражений доказательство тождества алгебра 11 класс тождество алгебры решение тождества алгебраические выражения математические тождества тождества в алгебре Новый

Для доказательства тождества (м+п)(п-м)^2 + 2мп(м+п) = (п+м)^3 - 2мп(м+п) мы будем использовать алгебраические преобразования. Давайте разберем каждую часть уравнения и упростим обе стороны.

Шаг 1: Упростим левую часть уравнения

Левая часть: (м+п)(п-м)^2 + 2мп(м+п)

• Сначала найдем (п-м)^2:
• (п-м)^2 = п^2 - 2пм + м^2
• Теперь подставим это значение в левую часть:

(м+п)(п^2 - 2пм + м^2) + 2мп(м+п)

• Раскроем скобки:
• (м+п)(п^2) - (м+п)(2пм) + (м+п)(м^2) + 2мп(м+п)

Теперь раскроем каждую из скобок:

• п^2(м+п) = п^2м + п^3
• -2пм(м+п) = -2пм^2 - 2п^2м
• м^2(м+п) = м^3 + м^2п
• 2мп(м+п) = 2м^2п + 2п^2м

Теперь сложим все полученные выражения:

п^2м + п^3 - 2пм^2 - 2п^2м + м^3 + м^2п + 2м^2п + 2п^2м

Шаг 2: Упростим правую часть уравнения

Правая часть: (п+м)^3 - 2мп(м+п)

• Сначала найдем (п+м)^3:
• (п+м)^3 = п^3 + 3п^2м + 3пм^2 + м^3
• Теперь подставим это значение в правую часть:

п^3 + 3п^2м + 3пм^2 + м^3 - 2мп(м+п)

• Раскроем скобки:
• -2мп(м+п) = -2м^2п - 2п^2м

Теперь сложим все полученные выражения:

п^3 + 3п^2м + 3пм^2 + м^3 - 2м^2п - 2п^2м

Шаг 3: Сравним обе части

Теперь у нас есть:

• Левая часть: п^2м + п^3 + м^3 + м^2п + 0 (после сложения всех членов)
• Правая часть: п^3 + м^3 + (3п^2м - 2п^2м) + (3пм^2 - 2м^2п)

Сравнив обе части, мы видим, что они равны, так как все члены совпадают.

Вывод:

Таким образом, мы доказали, что (м+п)(п-м)^2 + 2мп(м+п) = (п+м)^3 - 2мп(м+п) является тождеством.