Как можно исследовать на непрерывность функцию y=(4-x^2)/(x^2-6x+8)? СРОЧНО!

Алгебра 11 класс Непрерывность функций исследование функции непрерывность функции алгебра 11 класс y=(4-x^2)/(x^2-6x+8) свойства функции анализ функции пределы функции Новый

Чтобы исследовать функцию y = (4 - x²) / (x² - 6x + 8 на непрерывность, нам нужно выполнить несколько шагов. Непрерывность функции в точке подразумевает, что функция определена в этой точке, и предел функции при подходе к этой точке равен значению функции в этой точке.

Шаг 1: Найдем область определения функции

Сначала определим, где функция может быть не определена. Это происходит, когда знаменатель равен нулю. Для этого решим уравнение:

• x² - 6x + 8 = 0

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

• D = b² - 4ac = (-6)² - 4 * 1 * 8 = 36 - 32 = 4

Теперь найдем корни:

• x₁ = (6 + √D) / 2 = (6 + 2) / 2 = 4
• x₂ = (6 - √D) / 2 = (6 - 2) / 2 = 2

Таким образом, функция не определена в точках x = 2 и x = 4. Следовательно, область определения функции:

• x ∈ R, x ≠ 2, x ≠ 4

Шаг 2: Исследуем пределы функции в точках разрыва

Теперь нам нужно проверить предел функции в точках x = 2 и x = 4, чтобы определить, есть ли у нас разрывы и каковы их типы.

Для точки x = 2:

Найдём предел функции при x, стремящемся к 2:

• lim (x → 2) y = lim (x → 2) (4 - x²) / (x² - 6x + 8)
• Подставляем x = 2: (4 - 2²) / (2² - 6*2 + 8) = (4 - 4) / (4 - 12 + 8) = 0 / 0

Это неопределенность, поэтому применим правило Лопиталя или упростим функцию:

• Факторизуем знаменатель: x² - 6x + 8 = (x - 2)(x - 4)
• Тогда y = (4 - x²) / ((x - 2)(x - 4))

Теперь упростим числитель:

• 4 - x² = -(x² - 4) = -(x - 2)(x + 2)

Теперь подставим в функцию:

• y = - (x - 2)(x + 2) / ((x - 2)(x - 4))

Сократим (x - 2):

• y = - (x + 2) / (x - 4)

Теперь найдем предел:

• lim (x → 2) y = - (2 + 2) / (2 - 4) = -4 / -2 = 2

Таким образом, в точке x = 2 у нас разрыв первого рода.

Для точки x = 4:

Аналогично найдем предел при x, стремящемся к 4:

• lim (x → 4) y = lim (x → 4) (4 - x²) / (x² - 6x + 8)
• Подставляем x = 4: (4 - 4²) / (4² - 6*4 + 8) = (4 - 16) / (16 - 24 + 8) = -12 / 0

Это означает, что у нас есть разрыв второго рода в точке x = 4, так как предел не существует.

Вывод:

Функция y = (4 - x²) / (x² - 6x + 8 имеет разрывы:

• Разрыв первого рода в x = 2 (предел существует, но функция не определена)
• Разрыв второго рода в x = 4 (предел не существует)

Таким образом, функция не является непрерывной в точках x = 2 и x = 4.