Как можно изучить график функции f(x) = x² - 2x - 9, используя производную?

Алгебра 11 класс Исследование функций с помощью производной график функции изучение графика производная алгебра 11 класс f(x) = x² - 2x - 9 анализ функции методы изучения графиков Новый

Чтобы изучить график функции f(x) = x² - 2x - 9 с помощью производной, мы будем следовать нескольким шагам. Давайте разберём их по порядку.

Шаг 1: Найти производную функции

Для начала нам нужно найти производную функции f(x). Производная функции показывает, как изменяется значение функции в зависимости от изменения x. Для функции f(x) = x² - 2x - 9 производная будет:

• f'(x) = 2x - 2

Шаг 2: Найти критические точки

Критические точки функции находятся там, где производная равна нулю или не определена. В нашем случае производная f'(x) = 2x - 2 равна нулю, когда:

• 2x - 2 = 0
• 2x = 2
• x = 1

Таким образом, у нас есть одна критическая точка: x = 1.

Шаг 3: Определить знак производной

Теперь мы должны определить, как ведёт себя производная f'(x) в окрестности критической точки. Мы можем взять значения x, которые меньше и больше 1, чтобы выяснить, где функция возрастает, а где убывает:

• Для x < 1, например, x = 0: f'(0) = 2(0) - 2 = -2 (производная отрицательна, функция убывает).
• Для x > 1, например, x = 2: f'(2) = 2(2) - 2 = 2 (производная положительна, функция возрастает).

Шаг 4: Определить тип критической точки

Так как производная меняет знак с отрицательного на положительный в точке x = 1, это означает, что в данной точке находится минимум функции.

Шаг 5: Найти координаты минимума

Теперь нам нужно найти значение функции в критической точке, чтобы определить координаты минимума:

• f(1) = (1)² - 2(1) - 9 = 1 - 2 - 9 = -10.

Таким образом, координаты минимума: (1, -10).

Шаг 6: Построить график функции

Теперь, зная, что функция имеет минимум в точке (1, -10) и что она убывает до этой точки и возрастает после неё, мы можем нарисовать график. Функция будет иметь параболическую форму, открывающуюся вверх.

Шаг 7: Дополнительные точки для точности

Для более точного графика можно также найти значения функции в других точках. Например:

• f(0) = -9
• f(-1) = -8
• f(2) = -9
• f(3) = -6

Собрав все эти данные, мы можем нарисовать более точный график функции f(x) = x² - 2x - 9.

Таким образом, используя производную, мы смогли проанализировать поведение функции и построить её график.