Как можно проанализировать функцию f(x)=x^4/4+x^3/3-x^2, используя производную?

Алгебра 11 класс Исследование функций с помощью производной анализ функции производная f(x)=x^4/4+x^3/3-x^2 алгебра 11 класс нахождение производной график функции экстремумы функции Новый

Чтобы проанализировать функцию f(x) = x^4/4 + x^3/3 - x^2 с помощью производной, мы можем выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции f(x).

Для этого воспользуемся правилом дифференцирования степенной функции:

• Производная x^n равна n*x^(n-1).

Таким образом, находим производную:

• f'(x) = (1/4) * 4 * x^(4-1) + (1/3) * 3 * x^(3-1) - 2*x = x^3 + x^2 - 2x.
2. Упростить производную.

Мы можем упростить выражение для производной:

• f'(x) = x^3 + x^2 - 2x = x(x^2 + x - 2).
• Теперь можем разложить квадратный трехчлен: x^2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2).
• Таким образом, f'(x) = x(x - 1)(x + 2).
3. Найти критические точки.

Критические точки находятся при f'(x) = 0:

• x(x - 1)(x + 2) = 0.
• Решаем это уравнение:
• x = 0, x - 1 = 0 (x = 1), x + 2 = 0 (x = -2).
4. Определить интервалы знаков производной.

Теперь рассмотрим знаки производной на интервалах, определяемых найденными критическими точками: -∞, -2, 0, 1, +∞.

• Выберем тестовые точки для каждого интервала:
• Для (-∞, -2): например, x = -3, f'(-3) > 0.
• Для (-2, 0): например, x = -1, f'(-1) < 0.
• Для (0, 1): например, x = 0.5, f'(0.5) < 0.
• Для (1, +∞): например, x = 2, f'(2) > 0.
5. Сделать вывод о возрастании и убывании функции.

На основании знаков производной можно сделать вывод:

• Функция возрастает на интервале (-∞, -2).
• Функция убывает на интервале (-2, 0) и (0, 1).
• Функция возрастает на интервале (1, +∞).
6. Определить экстремумы.

Теперь мы можем определить, где функция достигает максимумов и минимумов:

• На x = -2 функция имеет локальный максимум.
• На x = 0 и x = 1 функция имеет локальные минимумы.

Таким образом, мы проанализировали функцию f(x) с помощью производной, определив критические точки, интервалы возрастания и убывания, а также экстремумы.