Как можно найти значение интеграла:

∫((cos√x)/√x) dx?

Алгебра 11 класс Интегралы и методы интегрирования интеграл значение интеграла ∫((cos√x)/√x) dx алгебра 11 класс методы интегрирования Новый

Чтобы найти значение интеграла ∫((cos√x)/√x) dx, мы можем воспользоваться методом подстановки. Давайте рассмотрим шаги, которые помогут нам решить этот интеграл.

1. Выбор подстановки: Мы заметим, что в интеграле присутствует выражение √x. Поэтому удобно сделать подстановку: t = √x. Это означает, что x = t².
2. Нахождение производной: Теперь найдем производную x по t, чтобы выразить dx через dt. Мы имеем:
   • dx = 2t dt
3. Замена переменных: Теперь подставим t и dx в наш интеграл. У нас есть:
   • √x = t
   • cos(√x) = cos(t)
   • dx = 2t dt
   Таким образом, интеграл преобразуется в: ∫(cos(t)/t) * (2t dt) = 2∫cos(t) dt.
4. Интегрирование: Теперь нам нужно найти интеграл ∫cos(t) dt. Это стандартный интеграл, который равен: sin(t) + C, где C - константа интегрирования.
5. Возвращение к исходной переменной: Не забудем вернуть t обратно в выражение через x. Мы знаем, что t = √x, поэтому: sin(t) = sin(√x).
6. Итоговое выражение: Подставляем обратно в интеграл: 2sin(√x) + C.

Таким образом, значение интеграла ∫((cos√x)/√x) dx равно 2sin(√x) + C.